莱夫谢茨对偶

令 ${\displaystyle M}$ 是 ${\textstyle n}$ 维可定向紧流形，边界为 ${\displaystyle N}$ ，令 ${\displaystyle z}$ 为${\displaystyle M}$ 的定向所決定的基本类。与 ${\displaystyle z}$ 的杯积诱导了 ${\displaystyle M}$ 的（上）同调群和 ${\displaystyle (M,N)}$ 的相对（上）同调群的配对；由此便可得到^[2]

$${\displaystyle H^{k}(M,N)\cong H_{n-k}(M)}$$

与

$${\displaystyle H_{k}(M,N)\cong H^{n-k}(M)}$$

这里的 ${\textstyle N}$ 实际上可以是空的，此时，莱夫谢茨对偶退化为庞加莱对偶。

实际上，若 ${\textstyle N}$ 可以分解为具有共同边界的两个可定向紧流形 ${\textstyle A}$ 、${\textstyle B}$ ，则有下式：^[3]

$${\displaystyle D_{M}:H^{p}(M,A;\mathbb {Z} )\to H_{n-p}(M,B;\mathbb {Z} ).}$$