历史
证明
方法一
(i)若
是整数,
是质数,且
。若
不能整除
,则
不能整除
。取整數集
为所有小於
的正整数集合(
构成
的完全剩余系,即
中不存在两个数同余
),
是
中所有的元素乘以
组成的集合。因为
中的任何两个元素之差都不能被
整除,所以
中的任何两个元素之差也不能被
整除。
換句話說,
,考慮
共
個數,將它們分別除以
,餘數分別為
,則集合
為集合
的重新排列,即
在餘數中恰好各出現一次;這是因為對於任兩個相異
而言(
),其差不是
的倍數(所以不會有相同餘數),且任一個
亦不為
的倍數(所以餘數不為0)。因此
即
在这里
,且
,因此将整个公式除以
即得到:
[3]- 也即
(ii)若
整除
,则显然有
整除
,即
。
方法二
若
为质数,
为整数,且
。考慮二項式係數
,並限定
不為
或
,則由於分子有質數
,但分母不含
,故分子的
能保留,不被約分而除去,即
恆為
的倍數[4]。
再考慮
的二項式展開,模
,則
因此
令
,即得
。[3]
方法三
在抽象代数教科书中,费马小定理常作为教授拉格朗日定理时的一个简单例子[5]。显然只需考虑
情形。此时模
所有非零的余数,在同余意义下对乘法构成一个群,这个群的阶是
。考虑群中的任何一个元素
,根据拉格朗日定理,
的阶必整除群的阶。证毕。
應用
- 計算
除以13的餘數
故餘數為3。
- 證明對於任意整數a而言,
恆為2730的倍數。- 易由
推得
,其中
為正整數。 - 故對指數13操作如下:13減1為12,12的正因數有1, 2, 3, 4, 6, 12,分別加1,為2, 3, 4, 5, 7, 13,其中2, 3, 5, 7, 13為質數,根據定理的延伸表達式,
為2的倍數、為3的倍數、為5的倍數、為7的倍數、為13的倍數,即2*3*5*7*13=2730的倍數。
推广
注释
参见
參考