數學 上,陳-韋伊同態 (英語:Chern–Weil homomorphism )是陳-韋伊理論的基本構造,將一個光滑流形M 的曲率聯繫到M 的德拉姆上同調 群,也就是從幾何到拓撲。這個理論由陳省身 和安德烈·韋伊 於1940年代建立,是發展示性類 理論的重要步驟。這個結果推廣了陳-高斯-博內定理 。
記 K {\displaystyle \mathbb {K} } 為實數域 或複數域 。設G 為實或複李群 ,有李代數 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ,又記
K ( g ∗ ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})} 為 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上的 K {\displaystyle \mathbb {K} } -值多項式的代數。設 K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} 為在 K ( g ∗ ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})} 中G 的伴隨作用 的不動點的子代數,故對所有 f ∈ K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} 有
f ( t 1 , … , t k ) = f ( A d g t 1 , … , A d g t k ) {\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{k})=f(Ad_{g}t_{1},\dots ,Ad_{g}t_{k})\,} 。陳-韋伊同態 是從 K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} 到上同調代數 H ∗ ( M , K ) {\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {K} )} 的一個 K {\displaystyle \mathbb {K} } -代數同態。這個同態存在,且對M 上任何主G -叢 P 有唯一定義。若G 緊緻,則於此同態下,G -叢B G 的分類空間的上同調環同構於不變多項式的代數 K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} :
H ∗ ( B G , K ) ≅ K ( g ∗ ) A d ( G ) . {\displaystyle H^{*}(B^{G},\mathbb {K} )\cong \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}.} 對於如SL(n ,R )的非緊緻群,可能有上同調類無不變多項式的表示。
同態的定義 取P 中任何聯絡形式 w ,設 Ω {\displaystyle \Omega } 為相伴的曲率2-形式 。若 f ∈ K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} 是k 次齊次多項式,設 f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )} 是P 上的2k -形式,以下式給出
f ( Ω ) ( X 1 , … , X 2 k ) = 1 ( 2 k ) ! ∑ σ ∈ S 2 k ϵ σ f ( Ω ( X σ ( 1 ) , X σ ( 2 ) ) , … , Ω ( X σ ( 2 k − 1 ) , X σ ( 2 k ) ) ) {\displaystyle f(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))} 其中 ϵ σ {\displaystyle \epsilon _{\sigma }} 是2k 個數的對稱群 S 2 k {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}} 中置換 σ {\displaystyle \sigma } 的符號。(見普法夫值 。)
可證
f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )} 是閉形式 ,故
d f ( Ω ) = 0 , {\displaystyle df(\Omega )=0,\,} 且 f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )\,} 的德拉姆上同調 類獨立於在P 上的聯絡的選取,故只依賴於主叢。
因此設
ϕ ( f ) {\displaystyle \phi (f)\,} 是由上從f 得出的上同調類,故有代數同態
ϕ : K ( g ∗ ) A d ( G ) → H ∗ ( M , K ) . {\displaystyle \phi :\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}\rightarrow H^{*}(M,\mathbb {K} ).\,} 參考 Bott, R. , On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups, Advances in Math, 1973, 11 : 289–303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1 .Chern, S.-S. , Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951 .Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0 , ISBN 3-540-90422-0 .The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes. Chern, S.-S. ; Simons, J , Characteristic forms and geometric invariants, The Annals of Mathematics. Second Series, 1974, 99 (1): 48–69, JSTOR 1971013 .Kobayashi, S.; Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Vol. 2, Wiley-Interscience, 1963new ed. 2004 .Narasimhan, M.; Ramanan, S., Existence of universal connections, Amer. J. Math., 1961, 83 : 563–572, JSTOR 2372896 , doi:10.2307/2372896 .Morita, Shigeyuki, Geometry of Differential Forms, A.M.S monograph, 2000, 201 .