马丟函数(法語:Équation de Mathieu)是1868年法國數學家以米里迂·拉·馬丢因研究数学物理所推得的特殊函數,下列马丟方程的解析解:
马丟方程有两个线性无关的解:
- 奇数解
MathieuCE(n, q, x),或记为,
- 偶数解
MathieuSE(n, q, x).或记为称为基本解[1]
周期性
正交性
-
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-
特征方程
马丟方程的特征方程是[1]
对于给定的v,q, 上列特征方程给出无穷多个a、b解称为特征值。
特征值的展开
马丟函数体特征值可展开成级数:[2]
级数展开
马丟函数ce,se的级数展开[3]
傅立叶展开式
马丟函数的傅立叶展开:[3]
-
-
-
-
其中系数A,B满足下列递归关系:[3]
关系式
马丟方程的基本解 满足下列关系:[3]:
- =
郎斯基行列式:
特例
-
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夫洛开解
马丟函数中,如果 是一个周期为 的解,并满足下列条件
,其中 与x 无关,则此解称为夫洛开解。
- 级数展开
参考文献
- 王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 第十二章 马丟函数 北京大学出版社 2000
- Frank J Oliver NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge University PRESS, 2010