設想一個二階齊次線性微分方程式
ϵ 2 d 2 y d x 2 = Q ( x ) y {\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y\,\!} ;其中, Q ( x ) ≠ 0 {\displaystyle Q(x)\neq 0\,\!} 。
猜想解答的形式為
y ( x ) = exp [ 1 δ ∑ n = 0 ∞ δ n S n ( x ) ] {\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\,\!} 。將猜想代入微分方程式,可以得到
ϵ 2 [ 1 δ 2 ( ∑ n = 0 ∞ δ n S n ′ ) 2 + 1 δ ∑ n = 0 ∞ δ n S n ″ ] = Q ( x ) {\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x)\,\!} 。取 δ → 0 {\displaystyle \delta \rightarrow 0\,\!} 的極限,最重要的項目是
ϵ 2 δ 2 S 0 ′ 2 ∼ Q ( x ) {\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x)\,\!} 。我們可以察覺, δ {\displaystyle \delta \,\!} 必須與 ϵ {\displaystyle \epsilon \,\!} 成比例。設定 δ = ϵ {\displaystyle \delta =\epsilon \,\!} ,則 ϵ {\displaystyle \epsilon \,\!} 的零次冪項目給出
ϵ 0 : S 0 ′ 2 = Q ( x ) {\displaystyle \epsilon ^{0}:\qquad S_{0}'^{2}=Q(x)\,\!} 。我們立刻認出這是程函方程 。解答為
S 0 ( x ) = ± ∫ x 0 x Q ( t ) d t {\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\,\!} 。檢查 ϵ {\displaystyle \epsilon \,\!} 的一次冪項目給出
ϵ 1 : 2 S 0 ′ S 1 ′ + S 0 ″ = 0 {\displaystyle \epsilon ^{1}:\qquad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0\,\!} 。這是一個一維傳輸方程式 。解答為
S 1 ( x ) = − 1 4 ln ( Q ( x ) ) + k 1 {\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln \left(Q(x)\right)+k_{1}\,\!} ;其中, k 1 {\displaystyle k_{1}\,\!} 是任意常數。
我們現在有一對近似解(因為 S 0 {\displaystyle S_{0}\,\!} 可以是正值或負值)。一般的一階WKB近似解是這一對近似解的線性組合:
y ( x ) ≈ c 1 Q − 1 4 ( x ) exp [ 1 ϵ ∫ x 0 x Q ( t ) d t ] + c 2 Q − 1 4 ( x ) exp [ − 1 ϵ ∫ x 0 x Q ( t ) d t ] {\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]\,\!} 。檢查 ϵ {\displaystyle \epsilon \,\!} 的更高冪項目( n > 2 {\displaystyle n>2\,\!} )可以給出:
2 S 0 ′ S n ′ + S n − 1 ″ + ∑ j = 1 n − 1 S j ′ S n − j ′ = 0 {\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0\,\!} 。解析一個量子系統的薛丁格方程式,WKB近似涉及以下步驟:
將波函數 重寫為一個指數函數 , 將這指數函數代入薛丁格方程式 , 展開指數函數的參數為約化普朗克常數 的冪級數 , 匹配約化普朗克常數同次冪的項目,會得到一組方程式, 解析這些方程式,就會得到波函數的近似。 一維不含時薛丁格方程式 為
− ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ( x ) + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!} ;其中, ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 是約化普朗克常數 , m {\displaystyle m\,\!} 是質量, x {\displaystyle x\,\!} 是坐標, V ( x ) {\displaystyle V(x)\,\!} 是位勢 , E {\displaystyle E\,\!} 是能量, ψ {\displaystyle \psi \,\!} 是波函數。
稍加編排,重寫為
ℏ 2 d 2 d x 2 ψ ( x ) = 2 m ( V ( x ) − E ) ψ ( x ) {\displaystyle \hbar ^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=2m\left(V(x)-E\right)\psi (x)\,\!} 。(1) 假設波函數的形式為另外一個函數 ϕ {\displaystyle \phi \,\!} 的指數(函數 ϕ {\displaystyle \phi \,\!} 與作用量 有很密切的關係):
ψ ( x ) = e ϕ ( x ) / ℏ {\displaystyle \psi (x)=e^{\phi (x)/\hbar }\,\!} 。代入方程式(1),
ℏ ϕ ″ ( x ) + [ ϕ ′ ( x ) ] 2 = 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle \hbar \phi ''(x)+\left[\phi '(x)\right]^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!} ;(2) 其中, ϕ ′ {\displaystyle \phi '\,\!} 表示 ϕ {\displaystyle \phi \,\!} 隨著 x {\displaystyle x\,\!} 的導數。
ϕ ′ {\displaystyle \phi '\,\!} 可以分為實值部分與虛值部分。設定兩個函數 A ( x ) {\displaystyle A(x)\,\!} 與 B ( x ) {\displaystyle B(x)\,\!} :
ϕ ′ ( x ) = A ( x ) + i B ( x ) {\displaystyle \phi '(x)=A(x)+iB(x)\,\!} 。注意到波函數的波幅是 exp [ ∫ x A ( x ′ ) d x ′ / ℏ ] {\displaystyle \exp \left[\int ^{x}A(x')dx'/\hbar \right]\,\!} ,相位是 ∫ x B ( x ′ ) d x ′ / ℏ {\displaystyle \int ^{x}B(x')dx'/\hbar \,\!} 。將 ϕ ′ {\displaystyle \phi '\,\!} 的代表式代入方程式(2),分別匹配實值部分、虛值部分,可以得到兩個方程式:
ℏ A ′ ( x ) + A ( x ) 2 − B ( x ) 2 = 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle \hbar A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!} ,(3) ℏ B ′ ( x ) + 2 A ( x ) B ( x ) = 0 {\displaystyle \hbar B'(x)+2A(x)B(x)=0\,\!} 。(4) 半經典近似 將 A ( x ) {\displaystyle A(x)\,\!} 與 B ( x ) {\displaystyle B(x)\,\!} 展開為 ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 的冪級數 :
A ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ℏ n A n ( x ) {\displaystyle A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x)\,\!} , B ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ℏ n B n ( x ) {\displaystyle B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x)\,\!} 。將兩個冪級數代入方程式(3)與(4)。 ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 的零次冪項目給出:
A 0 ( x ) 2 − B 0 ( x ) 2 = 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!} , A 0 ( x ) B 0 ( x ) = 0 {\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0\,\!} 。假若波幅變化地足夠慢於相位( A 0 ( x ) ≪ B 0 ( x ) {\displaystyle A_{0}(x)\ll B_{0}(x)\,\!} ),那麼,我們可以設定
A 0 ( x ) = 0 {\displaystyle A_{0}(x)=0\,\!} , B 0 ( x ) = ± 2 m ( E − V ( x ) ) {\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!} 。只有當 E ≥ V ( x ) {\displaystyle E\geq V(x)\,\!} 的時候,這方程式才成立。經典運動只會允許這種狀況發生。
更精確一點, ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 的一次冪項目給出:
A 0 ′ + 2 A 0 A 1 − 2 B 0 B 1 = − 2 B 0 B 1 = 0 {\displaystyle A_{0}'+2A_{0}A_{1}-2B_{0}B_{1}=-2B_{0}B_{1}=0\,\!} , B 0 ′ + 2 A 0 B 1 + 2 B 0 A 1 = B 0 ′ + 2 B 0 A 1 = 0 {\displaystyle B_{0}'+2A_{0}B_{1}+2B_{0}A_{1}=B_{0}'+2B_{0}A_{1}=0\,\!} 。所以,
B 1 = 0 {\displaystyle B_{1}=0\,\!} , A 1 = − B 0 ′ 2 B 0 = d d x l n B 0 − 1 / 2 {\displaystyle A_{1}=-{\frac {B_{0}'}{2B_{0}}}={\frac {d}{dx}}lnB_{0}^{-1/2}\,\!} 。波函數的波幅是 exp [ ∫ x A ( x ′ ) d x ′ / ℏ ] = 1 B 0 {\displaystyle \exp \left[\int ^{x}A(x')dx'/\hbar \right]={\frac {1}{\sqrt {B_{0}}}}\,\!} 。
定義動量 p ( x ) = 2 m ( E − V ( x ) ) {\displaystyle p(x)={\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!} ,則波函數的近似為
ψ ( x ) ≈ C ± p ( x ) e ± i ∫ x 0 x p ( x ′ ) d x ′ / ℏ {\displaystyle \psi (x)\approx {\cfrac {C_{\pm }}{\sqrt {p(x)}}}e^{\pm i\int _{x_{0}}^{x}p(x')\mathrm {d} x'/\hbar }\,\!} ;(5) 其中, C + {\displaystyle C_{+}\,\!} 和 C − {\displaystyle C_{-}\,\!} 是常數, x 0 {\displaystyle x_{0}\,\!} 是一個任意參考點的坐標。
換到另一方面,假若相位變化地足夠慢於波幅( B 0 ( x ) ≪ A 0 ( x ) {\displaystyle B_{0}(x)\ll A_{0}(x)\,\!} ),那麼,我們可以設定
A 0 ( x ) = ± 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!} , B 0 ( x ) = 0 {\displaystyle B_{0}(x)=0\,\!} 。只有當 V ( x ) ≥ E {\displaystyle V(x)\geq E\,\!} 的時候,這方程式才成立。經典運動不會允許這種狀況發生。只有在量子系統裏,才會發生這種狀況,稱為量子穿隧效應 。類似地計算,可以求得波函數的近似為
ψ ( x ) ≈ C ± p ( x ) e ± ∫ x 0 x p ( x ′ ) d x ′ / ℏ {\displaystyle \psi (x)\approx {\frac {C_{\pm }}{\sqrt {p(x)}}}e^{\pm \int _{x_{0}}^{x}p(x')\mathrm {d} x'/\hbar }\,\!} ;(6) 其中, p ( x ) = 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle p(x)={\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!} 。
連接公式 顯而易見地,我們可以從分母觀察出來,在經典轉向點 E = V ( x ) {\displaystyle E=V(x)\,\!} ,這兩個近似方程式(5)和(6)會發散,無法表示出物理事實。我們必須正確地找到波函數在經典轉向點的近似解答。設定 x 1 < x < x 2 {\displaystyle x_{1}<x<x_{2}\,\!} 是經典運動允許區域。在這區域內, E > V ( x ) {\displaystyle E>V(x)\,\!} ,波函數呈振動形式。其它區域 x < x 1 {\displaystyle x<x_{1}\,\!} 和 x 2 < x {\displaystyle x_{2}<x\,\!} 是經典運動不允許區域,波函數呈指數遞減形式。假設在經典轉向點附近,位勢足夠的光滑,可以近似為線性函數。更詳細地說,在點 x 2 {\displaystyle x_{2}\,\!} 附近,將 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\,\!} 展開為一個冪級數:
2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) = U 1 ( x − x 2 ) + U 2 ( x − x 2 ) 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{2})+U_{2}(x-x_{2})^{2}+\cdots \,\!} ;其中, U 1 , U 2 , ⋯ {\displaystyle U_{1},\,U_{2},\,\cdots \,\!} 是常數值係數。
取至一階,方程式(1)變為
d 2 d x 2 ψ ( x ) = U 1 ( x − x 2 ) ψ ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=U_{1}(x-x_{2})\psi (x)\,\!} 。這微分方程式稱為艾里方程式 ,其解為著名的艾里函數 :
ψ ( x ) = C 2 A Ai ( U 1 3 ( x − x 2 ) ) + C 2 B Bi ( U 1 3 ( x − x 2 ) ) {\displaystyle \psi (x)=C_{2A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{2})\right)+C_{2B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{2})\right)\,\!} 。匹配艾里函數和在 x < x 2 {\displaystyle x<x_{2}\,\!} 的波函數,在 x 2 < x {\displaystyle x_{2}<x\,\!} 的波函數,經過一番繁雜的計算,可以得到在 x 2 {\displaystyle x_{2}\,\!} 附近的連接公式 (connection formula )[1] :
ψ ( x ) = { 2 C 2 p ( x ) sin ( 1 ℏ ∫ x x 2 p ( x ′ ) d x ′ + π 4 ) if x < x 2 C 2 | p ( x ) | exp ( − ∫ x 2 x | p ( x ′ ) | d x ′ / ℏ ) if x 2 < x {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}{\cfrac {2C_{2}}{\sqrt {p(x)}}}\sin \left({\cfrac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}p(x')dx'+{\cfrac {\pi }{4}}\right)&{\mbox{if }}x<x_{2}\\{\cfrac {C_{2}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-\int _{x_{2}}^{x}|p(x')|dx'/{\hbar }\right)&{\mbox{if }}x_{2}<x\end{cases}}\,\!} 。 類似地,也可以得到在 x 1 {\displaystyle x_{1}\,\!} 附近的連接公式:
ψ ( x ) = { C 1 | p ( x ) | exp ( − ∫ x x 1 | p ( x ′ ) | d x ′ / ℏ ) if x < x 1 2 C 1 p ( x ) sin ( 1 ℏ ∫ x 1 x p ( x ′ ) d x ′ + π 4 ) if x 1 < x {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}{\cfrac {C_{1}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-\int _{x}^{x_{1}}|p(x')|dx'/{\hbar }\right)&{\mbox{if }}x<x_{1}\\{\cfrac {2C_{1}}{\sqrt {p(x)}}}\sin \left({\cfrac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}p(x')dx'+{\cfrac {\pi }{4}}\right)&{\mbox{if }}x_{1}<x\end{cases}}\,\!} 。 量子化規則 在經典運動允許區域 x 1 < x < x 2 {\displaystyle x_{1}<x<x_{2}\,\!} 內的兩個連接公式也必須匹配。設定角變量
θ 1 = − 1 ℏ ∫ x 1 x p ( x ′ ) d x ′ − π 4 {\displaystyle \theta _{1}=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}p(x')dx'-{\frac {\pi }{4}}\,\!} , θ 2 = 1 ℏ ∫ x x 2 p ( x ′ ) d x ′ + π 4 {\displaystyle \theta _{2}=~{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}p(x')dx'+{\frac {\pi }{4}}\,\!} , α = ∫ x 1 x 2 p ( x ) d x / ℏ {\displaystyle \alpha =\int _{x_{1}}^{x_{2}}p(x)dx/\hbar \,\!} 。那麼,
α = θ 2 − θ 1 − π / 2 {\displaystyle \alpha =\theta _{2}-\theta _{1}-\pi /2\,\!} , − C 1 sin θ 1 = C 2 sin θ 2 = C 2 sin ( θ 1 + α + π / 2 ) {\displaystyle -C_{1}\sin \theta _{1}=C_{2}\sin \theta _{2}=C_{2}\sin(\theta _{1}+\alpha +\pi /2)\,\!} 。立刻,我們可以認定 | C 1 | = | C 2 | {\displaystyle |C_{1}|=|C_{2}|\,\!} 。匹配相位,假若 C 1 = C 2 {\displaystyle C_{1}=C_{2}\,\!} ,那麼,
α + π / 2 = ( 2 m − 1 ) π , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \alpha +\pi /2=(2m-1)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。所以,
α = ( 2 m − 3 / 2 ) π , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \alpha =(2m-3/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。假若 C 1 = − C 2 {\displaystyle C_{1}=-C_{2}\,\!} ,那麼,
α + π / 2 = 2 m π , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \alpha +\pi /2=2m\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。所以,
α = ( 2 m − 1 / 2 ) π , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \alpha =(2m-1/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。總結,量子系統必須滿足量子化守則:
∫ x 1 x 2 p ( x ) d x = ( n − 1 / 2 ) π ℏ , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}p(x)dx=(n-1/2)\pi \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。範例 考慮一個量子諧振子 系統,一個質量為 m {\displaystyle m\,\!} 的粒子,運動於諧振位勢 V ( x ) = 1 2 m ω 2 x 2 {\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,\!} ;其中, ω {\displaystyle \omega \,\!} 是角頻率。求算其本徵能級 E n {\displaystyle E_{n}\,\!} ?
能量為 E {\displaystyle E\,\!} 的粒子,其運動的古典轉向點 x t {\displaystyle x_{t}\,\!} 為
E = 1 2 m ω 2 x t 2 {\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{t}^{2}\,\!} 。所以,
x t = ± 2 E m ω 2 {\displaystyle x_{t}=\pm {\sqrt {\frac {2E}{m\omega ^{2}}}}\,\!} 。粒子的動量為
p ( x ) = 2 m ( E − 1 2 m ω 2 x 2 ) {\displaystyle p(x)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)}}\,\!} 。將這些變量代入量子化守則:
∫ − 2 E / m ω 2 2 E / m ω 2 2 m ( E − 1 2 m ω 2 x 2 ) d x = ( n − 1 / 2 ) π ℏ , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \int _{-2E/m\omega ^{2}}^{2E/m\omega ^{2}}\,{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)}}\,dx=(n-1/2)\pi \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。經過一番運算,可以得到本徵能量
E n = ( n − 1 / 2 ) ω ℏ , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle E_{n}=(n-1/2)\omega \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。藉由以上之計算,發現近似解與精確解完全一樣。