Cantidá de movimientu

Mecánica newtoniana

Históricamente'l conceutu de cantidá de movimientu surdió nel contestu de la mecánica newtoniana n'estrecha rellación col conceutu de velocidá y el de masa. En mecánica newtoniana defínese la cantidá de movimientu llinial como'l productu de la masa pola velocidá:

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$

La idea intuitiva tres esta definición ta en que la "cantidá de movimientu" dependía tantu de la masa como de la velocidá: si imaxina una mosca y un camión, dambos moviéndose a 40 km/h, la esperiencia cotidiana diz que la mosca ye bono de detener cola mano ente que'l camión non, anque los dos vaigan a la mesma velocidá. Esta intuición llevó a definir una magnitú que fuera proporcional tanto a la masa del oxetu móvil como a la so velocidá.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

Nes formulaciones más astractes de la mecánica clásica, como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana, amás del momentu llinial y del momentu angular pueden definise otros momentos, llamaos momentos xeneralizaos o momentos conxugaos, acomuñaos a cualquier tipu de coordenada xeneralizada. Xeneralízase asina la noción pel momento.

Si tiense un sistema mecánicu definíu pol so lagrangiano L definíu en términos de les coordenaes xeneralizaes (q₁,q₂,...,q_N) y les velocidaes xeneralizaes, entós el momentu conxugáu de la coordenada q_i vien dau por:^[2]

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$

Cuando la coordenada q_i ye una de les coordenaes d'un sistema de coordenaes cartesianes, el momentu conxugáu coincide con una de les componentes del momentu llinial, y, cuando la coordenada xeneralizada representa una coordenada angular o la midida d'un ángulu, el momentu conxugáu correspondiente resulta ser una de les componentes del momentu angular.

Cantidá de movimientu d'un mediu continuu

Si tamos interesaos en pescudar la cantidá de movimientu de, por casu, un fluyíu que se mueve según un campu de velocidaes ye necesariu sumar la cantidá de movimientu de cada partícula del fluyíu, esto ye, de cada diferencial de masa o elementu infinitesimal:

${\displaystyle \mathbf {p} =\int \mathbf {v} \ dm=\int _{V}\mathbf {v} \ \rho dV}$

La constancia de la velocidá de la lluz en tolos sistemes inerciales tien de resultes que la fuercia aplicao y l'aceleración adquirida por un cuerpu material nun sían colineales polo xeneral, polo cual la llei de Newton espresada como F=ma nun ye la más fayadiza. La llei fundamental de la mecánica relativista aceptada ye F=dp/dt.

El principiu de relatividá establez que les lleis de la física caltengan la so forma en los sistemes inerciales (los fenómenos siguen les mesmes lleis). Aplicando esti principiu na llei F=dp/dt llógrase'l conceutu de masa relativista, variable cola velocidá del cuerpu, si caltién la definición clásica (newtoniana) de la cantidá de movimientu.

Nel enfoque xeométricu de la mecánica relativista, yá que l'intervalu de tiempu efectivu percibíu por una partícula que se mueve con al respective de un observador difier del tiempu midíu pol observador. Eso fai que la derivada temporal del momentu llinial al respective de la coordenada temporal del observador inercial y la fuercia midida por él nun coincidan. Por que la fuercia seya la derivada temporal del momentu ye necesariu emplegar la derivada temporal respectu al tiempu propiu de la partícula. Eso conduz a redefinir la cantidá de movimientu en términos de la masa y la velocidá midida pol observador cola correición acomuñada a la dilatación de tiempu esperimentada pola partícula. Asina, la espresión relativista de la cantidá de movimientu d'una partícula midida por un observador inercial vien dada por:^[3]

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m\mathbf {v} }{\sqrt {1-{\cfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma m\mathbf {v} }$

onde ${\displaystyle v^{2},c^{2}}$ son respeutivamente el módulu al cuadráu de la velocidá de la partícula y la velocidá de la lluz al cuadráu y ${\displaystyle \gamma }$ ye'l factor de Lorentz.

Amás, en mecánica relativista, cuando se consideren distintos observadores en diversos estaos de movimientu surde'l problema de rellacionar los valores de les midíes realizaes por dambos. Eso namái ye posible si en llugar de considerar vectores tridimensionales considérense cuadrivectores qu'incluyan coordenaes espaciales y temporales. Asina, el momentu llinial definíu enantes xunto cola enerxía constitúi'l cuadrivector momento-energía o cuadrimomento P:

${\displaystyle \mathbf {P} =(P^{0},P^{1},P^{2},P^{3})=\left({\frac {Y}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)}$

Los cuadrimomentos definíos como na última espresión midíos por dos observadores inerciales van rellacionar por aciu les ecuaciones suministraes poles tresformamientos de Lorentz.

La mecánica cuántica postula qu'a cada magnitú física observable ${\displaystyle m\,}$ correspuénde-y un operador llinial autoadjunto ${\displaystyle {\hat {m}}}$ , llamáu a cencielles "observable", definíu sobre un dominiu d'espaciu de Hilbert astractu. Esti espaciu de Hilbert representa cada unu de los posibles estaos físicos que puede presentar un determináu sistema cuánticu.

Anque esisten diverses maneres de construyir un operador acomuñáu a la cantidá de movimientu, la forma más frecuente ye usar como espaciu de Hilbert pa una partícula l'espaciu de Hilbert ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ y usar una representación de los estaos cuánticos como funciones d'onda. Nesi casu, les componentes cartesianes del momentu llinial defínense como:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\qquad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\qquad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}}$

Resulta interesante alvertir que dichos operadores son autoadjuntos namái sobre l'espaciu de funciones absolutamente continues de ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ que constitúin un dominiu mestu de dichu espaciu. Curiáu con esto, pos los autovalores del operador momentu, sacantes nos llindemos a ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ , nun tienen por qué ser reales. Ello ye que polo xeneral pueden ser complexos.

Mecánicu newtoniana

Nun sistema mecánicu de partícules aislláu (zarráu) nel cual les fuercies esternes son cero, el momentu llinial total caltién si les partícules materiales exercen fuercies paraleles a la recta que les xune, yá que nesi casu dientro de la dinámica newtoniana del sistema de partícules puede probase qu'esiste una integral de movimientu integral del movimientu dada por:

${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {r} }}_{i})=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}}$

Onde ${\displaystyle \mathbf {r} _{i},{\dot {\mathbf {r} }}_{i}}$ son respeutivamente los vectores de posición y les velocidaes pa la partícula i-ésima midíes por un observador inercial.

Mecánica lagrangiana y hamiltoniana

En mecánica lagrangiana «si'l lagrangiano nun depende explícitamente de dalguna de les coordenaes xeneralizaes entós esiste un momentu xeneralizáu que se caltién constante a lo llargo del tiempu», resultando por tanto esa cantidá una integral del movimientu, esto ye, esiste una llei de caltenimientu pa dicha magnitú. Pongamos por casu qu'un sistema mecánicu tien un lagrangiano con n graos de llibertá y la so lagrangiano nun depende d'una d'elles. Por casu, la primera d'elles, esto ye:

${\displaystyle L:O\subset \mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ,\qquad (\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\mapsto L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=\sum _{i,j}{\dot {q}}_{i}{\frac {g_{ij}(q_{2},...,q_{n})}{2}}{\dot {q}}_{j}\ -\ V(q_{2},...,q_{n})}$

Nesi casu, en virtú de les ecuaciones de Euler-Lagrange esiste una magnitú caltenida ${\displaystyle p_{1}\,}$ que vien dada por:

${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{1}}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{j}g_{ij}{\dot {q}}_{j}\right)\ -\ 0\Rightarrow p_{1}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{1}}}=\sum _{j}g_{ij}{\dot {q}}_{j}={\mbox{constante}}}$

Si'l conxuntu de coordenaes xeneralizaes usáu ye cartesianu entós el tensor métricu ye la delta de Kronecker ${\displaystyle g_{ij}(q_{2},...,q_{n})=\delta _{ij}}$ y la cantidá ${\displaystyle p_{1}\,}$ coincide col momentu llinial na direición dada pola primer coordenada.

En mecánica hamiltoniana esiste una forma bien senciella pa determinar si una función que depende de les coordenaes y momentos xeneralizaos da llugar o non a una llei de caltenimientu en términos del paréntesis de Poisson. Pa determinar esa espresión calculemos la derivada a lo llargo de la trayeutoria d'una magnitú:

${\displaystyle {\frac {df(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )}{dt}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)=\sum _{i}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)=\{f,H\}_{pq}}$

A partir d'esa espresión podemos ver que pa «un momentu xeneralizáu va caltenese constante nel tiempu, si y namái si, el hamiltoniano nun depende explícitamente de la coordenada xeneralizada conxugada» como puede vese:

${\displaystyle 0={\frac {dp_{j}}{dt}}=\{p_{j},H\}_{pq}=\sum _{i}\left(0\cdot {\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}+\delta _{ij}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\right)={\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}}$

Mecánica del mediu continuu

Si tamos interesaos en pescudar la cantidá de movimientu de, por casu, un fluyíu que se mueve según un campu de velocidaes ye necesariu sumar la cantidá de movimientu de cada partícula del fluyíu, esto ye, de cada diferencial de masa o elementu infinitesimal:

${\displaystyle \mathbf {p} =\int \mathbf {v} \ dm=\int _{V}\mathbf {v} \ \rho dV}$

Si introduz el tensor de tensiones que caracteriza les fuercies internes nel interior d'un mediu continuu la ecuación de balance de la cantidá de movimientu en términos de les fuercies esteriores puede espresase como:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla \cdot \sigma }}+\rho \mathbf {f} =\rho {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$

onde:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ye'l tensor de tensiones de Cauchy.

${\displaystyle \rho \,}$ ye la densidá de materia.

${\displaystyle \mathbf {f} }$ la densidá de fuercia sobre'l cuerpu.

${\displaystyle \mathbf {v} }$ la velocidá en cada puntu del mediu continuu.

Mecánica relativista

En teoría de la relatividá la cantidá de movimientu o cuadrimomento defínese como un vector P el productu de la cuadrivelocidad O pola masa (en reposu) d'una partícula:

${\displaystyle P^{\alpha }=mU^{\alpha }\ =m{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}}$

En relatividá xeneral esta cantidá caltién si sobre ella nun actúen fuercies esteriores. En relatividá xeneral la situación ye daqué más complexa y puede vese que la cantidá de movimientu caltener pa una partícula si esta muévese a lo llargo d'una llinia xeodésica. Pa ver esto basta comprobar que la derivada respectu al tiempu propiu amenorgar a la ecuación de les xeodésiques, y esta derivada anúlase si y namái si la partícula mover a lo llargo d'una llinia d'universu que seya xeodésica:^[4]

${\displaystyle {\frac {dP^{\alpha }}{d\tau }}=O^{\beta }\nabla _{\beta }P^{\alpha }=O^{\beta }\left[m{\frac {dU^{\alpha }}{dx^{\beta }}}+m\Gamma _{\gamma \beta }^{\alpha }O^{\gamma }\right]=m\left[{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\gamma \beta }^{\alpha }{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}{\frac {dx^{\beta }}{d\tau }}\right]}$

Polo xeneral pa un cuerpu macroscópico sólidu de ciertu tamañu nun campu gravitatorio que presenta variaciones importantes d'un puntu a otru del cuerpu nun ye posible que caúna de les partícules siga una llinia xeodésica ensin que'l cuerpu estácese o perdiendo la so integridá. Esto asocede por casu en rexones del espaciu-tiempu onde esisten fuertes variaciones de curvatura. Por casu na cayida dientro d'un furacu negru, les fuercies de marea resultantes de la distinta combadura del espaciu-tiempu d'un puntu a otru despedazarían un cuerpu sólidu cayendo dientro d'un furacu negru.

Mecánica cuántica

Como ye sabíu en mecánica cuántica una cantidá caltién si'l operador autoadjunto que representa a dicha magnitú o observable conmuta col hamiltoniano, de manera similar a como en mecánica hamiltoniana una magnitú caltién si'l paréntesis de Poisson col hamiltoniano anúlase. Tomando como espaciu de Hilbert del sistema d'una partícula dientro d'un potencial una representación de tipu ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ . Tiense que:

${\displaystyle {\frac {d{\hat {p}}_{i}}{dt}}=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {p}}_{i},{\hat {H}}]=-{\boldsymbol {\nabla }}V(x_{i})}$

Por tanto, si'l potencial nun depende de les coordenaes ${\displaystyle x_{i}}$ , entós la cantidá de movimientu de la partícula caltiénse. Amás, la última espresión ye formalmente equivalente a la del casu clásicu en términos del paréntesis de Poisson. Teniendo en cuenta ta claro, qu'ésti ye'l hamiltoniano cuánticu, y que les cantidaes físiques, nun son les mesmes que na mecánica clásica, sinón operadores que representen les cantidaes clásiques (observables).

• Invariancia galileana
• Relatividá especial
• Emburrie
• Choque
• Impulsu

Bibliografía

• Landau & Lifshitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, 1991. ISBN 84-291-4081-6
• Halliday, David; Robert Resnick (1960-2007). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons, páx. Chapter 9.
• Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6