Distribución de probabilidá

• Variable aleatoria: Ye aquella que'l so valor ye la resultancia d'un eventu aleatoriu. Lo que quier dicir que son los resultaos que se presenten al azar en cualquier eventu o esperimentu.
• Variable aleatoria discreta: Ye aquella que solo toma ciertos valores (frecuentemente enteros) y que resulta principalmente del conteo realizáu.
• Variable aleatoria continua: Ye aquella que resulta xeneralmente de la midida y puede tomar cualquier valor dientro d'un intervalu dau.^[1]

Esta división realízase dependiendo del tipu de variable a estudiar. Los cuatro principales (de les que nacen toles demás) son:

a) Si la variable ye una variable discreta (valores enteros), va corresponder una distribución discreta, de les cualos esisten:

• Distribución binomial (eventos independientes).
• Distribución de Poisson (eventos independientes).
• Distribución hipergeométrica (eventos dependientes).

b) Si la variable ye continua, esto significa que puede tomar cualquier valor dientro d'un intervalu, la distribución que se va xenerar va ser una distribución continua, tamién llamada distribución normal o gaussiana.

Amás, puede utilizase la "distribución de Poisson como un aproximamientu de la distribución binomial" cuando la muestra por estudiar ye grande y la probabilidá d'ésitu ye pequeña. De la combinación de los dos tipos de distribuciones anteriores (a y b), surde una conocida como "distribución normal como un aproximamientu de la distribución binomial y de Poisson".

Dada una variable aleatoria ${\displaystyle \scriptstyle X}$ , el so función de distribución, ${\displaystyle \scriptstyle F_{X}(x)}$ , ye

${\displaystyle F_{X}(x)=\mathrm {Prob} (X\leq x)=\mu _{P}\{\omega \in \Omega |X(\omega )\leq x\}}$

Por simplicidá, cuando nun hai llugar a tracamundiu, suel omitise'l subíndice ${\displaystyle \scriptstyle X}$ y escríbese, a cencielles, ${\displaystyle \scriptstyle F(x)}$ . Onde na fórmula anterior:

${\displaystyle \mathrm {Prob} \,}$ , ye la probabilidá definida sobre un espaciu de probabilidá y una midida unitaria sobre'l espaciu muestral.

${\displaystyle \mu _{P}\,}$ ye la midida sobre la σ-álxebra de conxuntos acomuñada al espaciu de probabilidá.

${\displaystyle \Omega \,}$ ye'l espaciu muestral, o conxuntu de tolos posibles sucesos aleatorios, sobre'l que se define l'espaciu de probabilidá en cuestión.

${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ ye la variable aleatoria en cuestión, esto ye, una función definida sobre l'espaciu muestral a los númberos reales.

Propiedaes

De resultes cuasi inmediata de la definición, la función de distribución:

• Ye una función continua pela derecha.
• Ye una función monótona non decreciente.

Amás, cumple

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0,\qquad \lim _{x\to +\infty }F(x)=1}$

Pa dos númberos reales cualesquier ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ tal que ${\displaystyle (a<b)}$ , los sucesos ${\displaystyle (X\leq a)}$ y ${\displaystyle (a<X\leq b)}$ son mutuamente escluyentes y la so unión ye'l sucesu ${\displaystyle (X\leq b)}$ , polo que tenemosentós que:

${\displaystyle P(X\leq b)=P(X\leq a)+P(a<X\leq b)}$

${\displaystyle P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)}$

y finalmente

${\displaystyle P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)}$

Polo tanto una vegada conocida la función de distribución ${\displaystyle F(x)}$ pa tolos valores de la variable aleatoria ${\displaystyle x}$ vamos conocer dafechu la distribución de probabilidá de la variable.

Pa realizar cálculos ye más cómodu conocer la distribución de probabilidá, y sicasí pa ver una representación gráfica de la probabilidá ye más práuticu l'usu de la función de densidá.

Denominar distribución de variable discreta a aquella que la so función de probabilidá solo toma valores positivos nun conxuntu de valores de ${\displaystyle X}$ finito o infinitu numerable. A dicha función llámase-y función de masa de probabilidá. Nesti casu la distribución de probabilidá ye la suma de la función de masa, polo que tenemos entós que:

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{k=-\infty }^{x}f(k)}$

Y, tal como correspuende a la definición de distribución de probabilidá, esta espresión representa la suma de toles probabilidaes dende ${\displaystyle -\infty }$ hasta'l valor ${\displaystyle x}$ .

Tipos de distribuciones de variable discreta

Definíes sobre un dominiu finito

• La distribución binomial, que describe'l númberu d'aciertos nuna serie de n esperimentos independientes con posibles resultaos binarios, esto ye, de "sí" o "non", toos ellos con probabilidá d'aciertu p y probabilidá de fallu q = 1 − p.
• La distribución de Bernoulli, la clásica binomial, que toma valores "1", con probabilidá p, o "0", con probabilidá q = 1 − p (ensayu de Bernoulli).
• La distribución de Rademacher, que toma valores "1" o "-1" con probabilidá 1/2 cada unu.
• La distribución beta-binomial, que describe'l númberu d'aciertos nuna serie de n esperimentos independientes con posibles resultaos "sí" o "non", cada unu d'ellos con una probabilidá d'aciertu variable definida por una beta.
• La distribución dexenerada en x0, na que X toma'l valor x0 con probabilidá 1. A pesar de que nun paez una variable aleatoria, la distribución satisfai tolos requisitos pa ser considerada como tal.
• La distribución uniforme discreta, que recueye un conxuntu finito de valores que son resulten ser toos igualmente probables. Esta distribución describe, por casu, el comportamientu aleatoriu d'una moneda, un dadu, o una ruleta de casino equilibraos -ensin sesgu-.
• La distribución hipergeométrica, que mide la probabilidá de llograr x (0 ≤ x ≤ d) elementos d'una determinada clase formada por d elementos pertenecientes a una población de N elementos, tomando una muestra de n elementos de la población ensin reemplazu.
• La distribución hipergeométrica non central de Fisher.
• La distribución hipergeométrica non central de Wallenius.
• La llei de Benford, que describe la frecuencia del primer díxitu d'un conxuntu de númberos en notación decimal.

Definíes sobre un dominiu infinitu

• La distribución binomial negativa o distribución de Pascal, que describe'l númberu d'ensayos de Bernoulli independientes necesarios pa consiguir n aciertos, dada una probabilidá individual d'ésitu p constante.
• La distribución xeométrica, que describe'l númberu d'intentos necesarios hasta consiguir el primer aciertu.
• La distribución beta-binomial negativa, que describe'l númberu d'esperimentos del tipu "si/non" necesarios pa consiguir n aciertos, cuando la probabilidá d'ésitu de cada unu de los intentos ta distribuyida acordies con una beta.
• La distribución binomial negativa estendida.
• La distribución de Boltzmann, importante en mecánica estadística, que describe la ocupación de los niveles d'enerxía discretos nun sistema n'equilibriu térmicu. Dellos casos especiales son:

• La distribución de Gibbs.
• La distribución de Maxwell–Boltzmann.

• La distribución elíptica asimétrica.
• La distribución fractal parabolica.
• La distribución hipergeométrica estendida.
• La distribución logarítmica.
• La distribución logarítmica xeneralizada.
• La distribución de Poisson, que describe'l númberu d'eventos individuales qu'asoceden nun periodu de tiempu. Esisten diverses variantes como la distribución de Poisson movida, la hiperdistribución de Poisson, la distribución binomial de Poisson y la distribución de Conway–Maxwell–Poisson, ente otres.
• La distribución de Polya-Eggenberger.
• La distribución Skellam, que describe la diferencia de dos variables aleatories independientes con distribuciones de Poisson de distintu valor esperáu.
• La distribución de Yule–Simon.
• La distribución zeta, qu'utiliza la función zeta de Riemman p'asignar una probabilidá a cada númberu natural.
• La llei de Zipf, que describe la frecuencia d'usu de les pallabres d'una llingua.
• La llei de Zipf–Mandelbrot ye una versión más precisa de l'anterior.

Denominar variable continua a aquella que puede tomar cualesquier de los infinitos valores esistentes dientro d'un intervalu. Nel casu de variable continua la distribución de probabilidá ye la integral de la función de densidá, polo que tenemos entós que:

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt}$

Tipos de distribuciones de variable continua

Distribuciones definíes nun intervalu acutáu

• La distribución arcoseno, definida nel intervalu [a,b].
• La distribución beta, definida nel intervalu [0, 1], que ye útil a la d'envalorar probabilidaes.
• La distribución del cosenu alzáu, sobre l'intervalu [\mu-s,\mu+s].
• La distribución dexenerada en x0, na que X toma'l valor x0 con probabilidá 1. Puede ser considerada tanto una distribución discreta como continua.
• La distribución de Irwin-Hall o distribución de la suma uniforme, ye la distribución correspondiente a la suma de n variables aleatories i.i.d. ~ O(0, 1).
• La distribución de Kent, definida sobre la superficie d'una esfera unitaria.
• La distribución de Kumaraswamy, tan versátil como la beta, pero con FDC y FDP más simples.
• La distribución logarítmica continua.
• La distribución logit-normal en (0, 1).
• La distribución normal truncada, sobre l'intervalu [a, b].
• La distribución reciproca, un tipu de distribución inversa.
• La distribución triangular, definida en [a, b], de la cual un casu particular ye la distribución de la suma de dos variables independientes uniformemente distribuyíes (la convolución de dos distribuciones uniformes).
• La distribución uniforme continua definida nel intervalu zarráu [a, b], nel que la densidá de probabilidá ye constante.
• La distribución rectangular ye'l casu particular nel intervalu [-1/2, 1/2].
• La distribución O-cuadrática, definida en [a, b], utilizada pa modelar procesos bimodales simétricos.
• La distribución von Mises, tamién llamada distribución normal circular o distribución Tikhonov, definida sobre'l círculu unitariu.
• La distribución von Mises-Fisher, xeneralización de l'anterior a una esfera N-dimensional.
• La distribución semicircular de Wigner, importante nel estudiu de les matrices aleatories.

Definíes nun intervalu semi-infinitu, usualmente [0,∞)

• La distribución beta prima.
• La distribución de Birnbaum–Saunders, tamién llamada distribución de resistencia a la fatiga de materiales, utilizada pa modelar tiempos de fallu.
• La distribución chi.
• La distribución chi non central.
• La distribución χ² o distribución de Pearson, que ye la suma de cuadraos de n variables aleatories independientes gaussianas. Ye un casu especial de la gamma, utilizada en problemes de bondá d'axuste.
• La distribución chi-cuadrada inversa.
• La distribución chi-cuadrada inversa esguilada.
• La distribución chi-cuadrada non central.
• La distribución de Dagum.
• La distribución esponencial, que describe'l tiempu ente dos eventos consecutivos nun procesu ensin memoria.
• La distribución F, que ye la razón ente dos variables ${\displaystyle \mathbf {\chi } _{n}^{2}}$ y ${\displaystyle \mathbf {\chi } _{m}^{2}}$ independientes. Utilízase, ente otros usos, pa realizar analises de varianza per mediu del test F.
• La distribución F non central.
• La distribución de Fréchet.
• La distribución gamma, que describe'l tiempu necesariu por qu'asocedan n repeticiones d'un eventu nun procesu ensin memoria.
• La distribución de Erlang, casu especial de la gamma con un parámetru k enteru, desenvuelta pa predicir tiempos d'espera en sistemes de llinies d'espera.
• La distribución gamma inversa.
• La distribución gamma-Gompertz, que s'utiliza en modelos pa envalorar la esperanza de vida.
• La distribución de Gompertz.
• La distribución de Gompertz movida.
• La distribución de Gumbel tipu-2.
• La distribución de Lévy.

Distribuciones nes que'l llogaritmu d'una variable aleatoria ta distribuyíu conforme a una distribución estándar:

• La distribución log-Cauchy.
• La distribución log-gamma.
• La distribución log-Laplace.
• La distribución log-logistic.
• La distribución log-normal.
• La distribución de Mittag–Leffler.
• La distribución de Nakagami.
• Variantes de la distribución normal o de Gauss:
• La distribución normal pleglada.
• La distribución semi normal.
• La distribución de Gauss inversa, tamién conocida como distribución de Wald.
• La distribución de Pareto y la distribución de Pareto xeneralizada.
• La distribución tipo III de Pearson.
• La distribución por fases bi-esponencial, comúnmente usada en farmacocinética.
• La distribución por fases bi-Weibull.
• La distribución de Rayleigh.
• La distribución d'amiestu de Rayleigh.
• La distribución de Rice.
• La distribución T² de Hotelling.
• La distribución de Weibull o distribución de Rosin-Rammler, pa describir la distribución de tamaños de determinaes partícules.
• La distribución Z de Fisher.

Definíes na recta real completa

• La distribución de Behrens–Fisher, que surde nel problema de Behrens–Fisher.
• La distribución de Cauchy, un exemplu de distribución que nun tien mira nin varianza. En física llámase-y función de Lorentz, y acomúñase a dellos procesos.
• La distribución de Chernoff.
• La distribución estable o distribución asimétrica alfa-estable de Lévy, ye una familia de distribuciones usaes y ensame de campos. Les distribuciones normal, de Cauchy, de Holtsmark, de Landau y de Lévy pertenecen a esta familia.
• La distribución estable xeométrica.
• La distribución de Fisher–Tippett o distribución del valor estremu xeneralizada.
• La distribución de Gumbel o log-Weibull, casu especial de la Fisher–Tippett.
• La distribución de Gumbel tipu-1.
• La distribución de Holtsmark, exemplu d'una distribución con mira finita pero varianza infinita.
• La distribución hiperbólica.
• La distribución secante hiperbólica.
• La distribución LA SO de Johnson.
• La distribución de Landau.
• La distribución de Laplace.
• La distribución de Linnik.
• La distribución loxística, descrita pola función loxística.
• La distribución loxística xeneralizada.
• La distribución map-Airy.
• La distribución normal, tamién llamada distribución gaussiana o campana de Gauss. Ta bien presente n'ensame de fenómenos naturales debíu al teorema de la llende central: toa variable aleatoria que pueda modelase como la suma de delles variables independientes y hermano distribuyíes con mira y varianza finita, ye aproximao normal.
• La distribución normal xeneralizada.
• La distribución normal asimétrica.
• La distribución gaussiana exponencialmente modificada, la convolución d'una normal con una esponencial.
• La distribución normal-esponencial-gamma.
• La distribución gaussiana menos esponencial ye la convolución d'una distribución normal con una distribución esponencial (negativa).
• La distribución de Voigt, o perfil de Voigt, ye la convolución d'una distribución normal y una Cauchy. Utilízase principalmente en espectroscopía.
• La distribución tipo IV de Pearson.
• La distribución t de Student, preséu pa envalorar medies desconocíes d'una población gaussiana.
• La distribución t non central.

Definíes nun dominiu variable

• La distribución de Fisher–Tippett o distribución del valor estremu xeneralizada, pue tar definida na recta real completa o nun intervalu acutáu, dependiendo de los sos parámetros.
• La distribución de Pareto xeneralizada ta definida nun dominiu que puede tar acutáu inferiormente o acutáu per dambos estremos.
• La distribución lambda de Tukey, pue tar definida na recta real completa o nun intervalu acutáu, dependiendo de los sos parámetros.
• La distribución de Wakeby.

Distribuciones mistes discreta/continua

• La distribución gaussiana rectificada, ye una distribución normal na que los valores negativos son sustituyíos por un valor discretu en cero.

Distribuciones multivariable

• La distribución de Dirichlet, xeneralización de la distribución beta.
• La fórmula de muestreo de Ewens o distribución multivariante de Ewens, ye la distribución de probabilidá del conxuntu de toles particiones d'un enteru n, utilizada nel analís xenéticu de poblaciones.
• El modelu de Balding–Nichols, utilizáu nel analís xenéticu de poblaciones.
• La distribución multinomial, xeneralización de la distribución binomial.
• La distribución normal multivariante, xeneralización de la distribución normal.
• La distribución multinomial negativa, xeneralización de la distribución binomial negativa.
• La distribución log-gamma xeneralizada multivariante.

Distribuciones matriciales

• La distribución de Wishart.
• La distribución de Wishart inversa.
• La distribución normal matricial.
• La distribución t matricial.

Distribuciones non numbériques

• La distribución categórica.

Distribuciones misceláneas

• Distribución de Cantor.
• Distribución de tipo fase.

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