Granična vrijednost niza
Granična vrijednost niza je jedan od najstarijih koncepta u matematičkoj analizi. On nam nudi strogu definiciju ideje da niz konvergira prema određenoj tački koju nazivamo granična vrijednost (limes).
n | n sin(1/n) |
---|---|
1 | 0,841471 |
2 | 0,958851 |
... | |
10 | 0,998334 |
... | |
100 | 0,999983 |
Formalna definicija
- Za niz realnih brojeva
- Realan broj L naziva se granična vrijednost niza xn, a piše se kao
- ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N imamo |xn−L| < ε.
- Za niz tačaka u metričnom prostoru M sa funkcijom udaljenosti d (takav da je poput niza racionalnih brojeva, realnih brojeva, kompleksnih brojva, tačaka u normiranom prostoru, i td.):
- Za element se kaže da je granična vrijednost niza, a piše se kao
- ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N, imamo d(xn,L) < ε.
- Kao generalizacija, za niz tačaka u topološkom prostoru T:
- Za element se kaže da je granična vrijednost ovog niza, a piše se kao
- ako i samo ako, za svaku okolinu S od L, postoji prirodan broj N, takav da je za sve
Ako niz ima graničnu vrijednost, kažemo da je niz konvergentan, a da niz konvergira u tu graničnu vrijednost. U suprotnom, niz je divergentan (također pogledajte: oscilacija).
Nulti niz je niz koji konvergira u 0.
Primjeri
- Niz 1, -1, 1, -1, 1, ... je divergentan.
- niz 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... konvergira sa graničnom vrijednosti 1. Ovo je primjer beskonačnog reda.
- Ako je a realan broj sa apsolutno vrijednošću |a| < 1, tada niz an ima graničnu vrijednost 0. Ako je 0 < a, tada niz a1/n ima graničnu vrijednost 1.
Također:
Reference
Također pogledajte
- Granična vrijednost funkcije
- Načini konvergencije
Vanjski linkovi
🔥 Top keywords: Početna stranaSpisak pozivnih brojeva državaCreative Commons licencaPosebno:Nedavne izmjenePosebno:PretragaDraginja NadaždinRomska himnaFinale UEFA Lige prvaka 2024.Evropsko prvenstvo u nogometu 2024.Aleksandar SeksanFacebookBosna i HercegovinaSpisak država po površiniGenocid u SrebreniciAjetul-KursiSpisak pozivnih brojeva u Bosni i HercegoviniSpisak država Evrope po površiniSeksŽupanije u HrvatskojVukMC StojanEvropaMasakr u BleiburguPofalićka bitkaSpisak gradova u Crnoj GoriBrzina glomerulske filtracijePakao (Dante)99 Allahovih imenaAlbino (reper)VaginaTabela matematičkih simbolaRamo IsakMeđunarodno priznanje KosovaSergej BarbarezSpisak planina u Bosni i HercegoviniPravougaonikKantoni Federacije Bosne i HercegovineVrste riječiRat u Bosni i Hercegovini