Granična vrijednost niza
Granična vrijednost niza je jedan od najstarijih koncepta u matematičkoj analizi. On nam nudi strogu definiciju ideje da niz konvergira prema određenoj tački koju nazivamo granična vrijednost (limes).
n | n sin(1/n) |
---|---|
1 | 0,841471 |
2 | 0,958851 |
... | |
10 | 0,998334 |
... | |
100 | 0,999983 |
Kako pozitivni cijeli broj n postaje veći i veći, vrijednost n sin(1/n) postaje proizvoljno bliska broju 1. Možemo reći da je "granična vrijednost niza n sin(1/n) jednaka 1."
Formalna definicija
- Za niz realnih brojeva
- Realan broj L naziva se granična vrijednost niza xn, a piše se kao
- ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N imamo |xn−L| < ε.
- Za niz tačaka
u metričnom prostoru M sa funkcijom udaljenosti d (takav da je poput niza racionalnih brojeva, realnih brojeva, kompleksnih brojva, tačaka u normiranom prostoru, i td.):
- Za element
se kaže da je granična vrijednost niza, a piše se kao
- ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N, imamo d(xn,L) < ε.
- Kao generalizacija, za niz tačaka
u topološkom prostoru T:
- Za element
se kaže da je granična vrijednost ovog niza, a piše se kao
- ako i samo ako, za svaku okolinu S od L, postoji prirodan broj N, takav da je
za sve
Ako niz ima graničnu vrijednost, kažemo da je niz konvergentan, a da niz konvergira u tu graničnu vrijednost. U suprotnom, niz je divergentan (također pogledajte: oscilacija).
Nulti niz je niz koji konvergira u 0.
Primjeri
- Niz 1, -1, 1, -1, 1, ... je divergentan.
- niz 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... konvergira sa graničnom vrijednosti 1. Ovo je primjer beskonačnog reda.
- Ako je a realan broj sa apsolutno vrijednošću |a| < 1, tada niz an ima graničnu vrijednost 0. Ako je 0 < a, tada niz a1/n ima graničnu vrijednost 1.
Također:
Reference
Također pogledajte
- Granična vrijednost funkcije
- Načini konvergencije
Vanjski linkovi
🔥 Top keywords: Evropsko prvenstvo u nogometu 2024.Početna stranaSpisak pozivnih brojeva državaNogometne utakmice Hrvatska – ItalijaSpisak država Evrope po površiniPosebno:PretragaPosebno:Nedavne izmjeneRumunijaOlimpijske igre 2024.Spisak država po površiniSpisak gradova u Njemačkoj po broju stanovnikaAjetul-KursiBosna i HercegovinaSafet ZajkoNogometna reprezentacija RumunijeKurban-bajramBajram-namazTabela matematičkih simbolaSpisak glavnih gradovaSpisak pozivnih brojeva u Bosni i HercegoviniSvjetsko prvenstvo u nogometuMeđunarodno priznanje KosovaHobotnicaSeksLokalni izbori u Bosni i Hercegovini 2024.Županije u Hrvatskoj99 Allahovih imenaSpisak pritoka DunavaGoričkaNogometna reprezentacija SrbijeŠablon:Sastav Francuske na FIFA SP 1998.Evropsko prvenstvo u nogometu 2020.Nogometne utakmice Hrvatska – ŠpanijaSvjetsko prvenstvo u nogometu 2022.Spisak gradova u Crnoj GoriKvalifikacije za Evropsko prvenstvo u nogometu 2024 – grupa DEvropaSabah-namazKvalifikacije za Evropsko prvenstvo u nogometu 2024 – grupa C