Condició de frontera de Neumann

En matemàtiques, la condició de frontera o condició de contorn de Neumann (o de segon tipus) és un tipus de condició de frontera o contorn, anomenat així en al·lusió a Carl Neumann,^[1]quan en una equació diferencial ordinària o en derivades parcials, se li s'especifiquen els valors de la derivada d'una solució presa sobre la frontera o contorn del domini.

En el cas d'una equació diferencial ordinària, per exemple, pot ser:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1}$

sobre l'interval [0,1] les condicions de frontera de Neumann prenen la forma:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}(0)=\alpha _{1}\\{\frac {dy}{dx}}(1)=\alpha _{2}\end{cases}}}$

on ${\displaystyle \alpha _{1}}$ i ${\displaystyle \alpha _{2}}$ són nombres donats.

Per a una equació diferencial en derivades parcials sobre un domini ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ tal com:

${\displaystyle \nabla ^{2}y=0}$

on ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ és el laplacià, la condició de frontera de Neumann pren la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial n}}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega .}$

Aquí, n és la normal a la frontera ${\displaystyle \partial \Omega }$ i ${\displaystyle f}$ és una funció escalar.

La derivada normal utilitzant la regla de la mà esquerra es defineix com:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial n}}(x)=\nabla y(x)\cdot \mathbf {n} (x)}$

on ${\displaystyle \nabla }$ és el gradient (vector) i el punt és el producte intern amb el vector normal unitari n .