Neumannov granični uvjet

U matematici, Neumannov granični uvjet (Granični uvjet druge vrste) jeste vrsta graničnog uvjeta koja je dobila naziv po Carlu Neumannu.^[1]Kad se nametne običnoj ili parcijalnoj diferencijalnoj jednačini, uslov specificira da derivacija rješenja uzima na granicama domena.

U slučaju obične diferencijalne jednačine, na primjeru kao što je

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+3y=1}$

na intervalu ${\displaystyle [0,1],}$Neumannov granični uvjet ima oblik

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}(0)=\alpha _{1}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}(1)=\alpha _{2}}$

gdje su ${\displaystyle \alpha _{1}}$ i ${\displaystyle \alpha _{2}}$ zadani brojevi.

Za parcijalne diferencijalne jednačine na domenu

${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},}$

npr,

${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0}$

(${\displaystyle \nabla ^{2}}$ označava Laplacijan), Neumannov granični uvjet ima oblik

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \nu }}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega .}$

Ovdje, ${\displaystyle \nu }$ označava (najčešće vanjsku) normalu na granicu ∂Ω, a ${\displaystyle f}$ je zadana skalarna funkcija. Derivacija pravca, koja se nalazi na lijevoj strani, definirana je kao

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \nu }}(x)=\nabla y(x)\cdot \nu (x)}$

gdje je ∇ gradijent, a tačka predstavlja unutrašnji proizvod.