Fracció

Una fracció (o fraccionari) (del llatí fractus, 'trencat') representa una part d'un tot o, d'una manera més general, qualsevol nombre de parts iguals. Quan es parla en llenguatge quotidià, una fracció descriu quantes parts d'una certa mida hi ha: per exemple, una meitat, cinc vuitens o tres quarts.

Una fracció «comuna», «vulgar» o «simple» (per exemple, ${\tfrac {1}{2}}$ i 2/4) està formada per un numerador enter, que s'escriu a sobre d'una línia (o abans d'una barra), i un denominador enter diferent de zero, que s'escriu sota de la línia (o després de la barra). Els numeradors i denominadors també s'utilitzen en fraccions que no són comunes, entre les quals fraccions compostes, fraccions complexes i numerals mixtos. El numerador representa un nombre de parts iguals, i el denominador, que no pot ser zero, indica quantes d'aquestes parts formen una unitat o un tot. Per exemple, en la fracció 3/4, el numerador (3) indica que la fracció representa 3 parts iguals, i el denominador indica que 4 parts formen el tot.^[1]

Els nombres fraccionals també poden ser escrits sense utilitzar numeradors o denominadors explícits, ja sigui usant decimals, signes de percentatge o exponents negatius (per exemple, 0,01, 1% i 10⁻² respectivament, els quals són tots equivalents a 1/100). Un enter tal com el nombre 7 es pot interpretar com que té un denominador implícit de u: 7 és igual a 7/1.

Altres usos de les fraccions són per representar proporcions i divisions.^[2] Per tant, la fracció 3/4 també s'utilitza per representar la proporció 3:4 (la proporció d'una part respecte del tot) i la divisió 3 ÷ 4 (tres dividit entre quatre).

Història

A l'Antic Egipte, es calculava utilitzant fraccions els denominadors dels quals eren enters positius; són les primeres fraccions utilitzades per representar les «parts d'un enter», per mitjà del concepte de recíproc d'un nombre enter.^[3] Això equival a considerar fraccions com: un mig, un terç, un quart,... d'aquí vel el fet que les sumes de fraccions unitàries es coneguin com fracció egípcia. Es pot demostrar, a més, que qualsevol nombre racional positiu es pot escriure com a fracció egípcia. El jeroglífic d'una boca oberta

denotava la barra de fracció (/), i un arc numèric esrit sota de la "boca oberta", denotava el denominador de la fracció.

Els babilonis utilitzaven fraccions el denominador del qual era una potència de 60. El sistema xinès de numeració amb varetes permetia la representació de fraccions. Els antics grecs i romans van utilitzar també les fraccions unitàries, utilització que va persistir fins a l'època medieval. Diofant d'Alexandria (segle IV) escrivia i utilitzava fraccions. Posteriorment, es va introduir la «ratlla horitzontal» de separació entre numerador i denominador, i el numerador va deixar de restringir-se al número u, donant a lloc a les anomenades fraccions vulgars o comunes. Finalment, es van introduir les «fraccions decimals», en què el ednominador és una potència de deu.

Es creu que les fraccions decimals eren conegudes pels matemàtics xinesos en el segle I i que va ser d'allà d'on es va estendre el seu ús a mig Orient i a Europa.^[4] J. Lennart Berggren va notar que un sistema posicional amb fraccions decimals va ser utilitzat pel matemàtic àrab Al-Uqlidissí en el segle x.^[5]

Khwarazmí va introduir les fraccions en els països islàmics en el segle IX. La forma de representar les fraccions provenia de la representació tradicional xinesa, amb el numerador situat sobre del denominador, però sense la barra separadora. Aquesta forma d'escriptura de les fraccions amb un numerador a dalt i el denominador avall, sense una barra horitzontal, va ser utilitzada també en el segle X per Al-Uqlidissí i en el segle XV per Al-Kaixí en la seav obra La clau de l'aritmètica.

Leonardo de Pisa (Fibonaccci) en el seu Liber Abaci (Llibre de l'Àbac), escrit l'any 1202, va exposar una teoria dels nombres fraccionals. Va presentar les fraccions com fraccions egípcies, és a dir, com a suma de fraccions amb numeradors unitaris i denominadors no repetits. A més, va descriure el seu ús i les va desenvolupar dins del marc modern de les sèries matemàtiques.

L'ús modern de les fraccions va ser introduït definitavament per Simon Stevin en el segle xvi.xvi.^[6]

**Cronologia**^[7]
Any	Aconteixement
1800 a.C.	Registre d'ús de fraccions per l'Imperi Babilònic.
1650 a.C.	Sistema de fraccions egípcies.
500-600 d.C.	Aryabhata i Brahmagupta van desenvolupar les fraccions unitàries.
100	Sistema xinès de càlcul de fraccions amb varetes (Suanpan).
1202	Fibonacci difón la notació amb barra per separar numerador i denominador.
1585	Teoria sobre les fraccions decimals de Simon Stevin.
1700	Ús generalitzat de la línia fraccionària (barra horitzontal o oblíqüa).

Tipus de fraccions

Hi ha molts tipus de fraccions:

Una fracció comuna és un nombre racional escrit com un enter (el numerador) dividit per un enter no nul (el denominador). Hi ha diverses subcategories de fraccions comunes:
- Fracció irreductible: Fracció comuna el numerador del qual és enter, el denominador és enter positiu i el màxim comú divisor dels dos és 1 (és a dir, el numerador i el denominador són primers entre si).^[8]
- Fracció pròpia: Fracció comuna que té un valor comprés entre zero i u
- Fracció impròpia: Fracció comuna major que 1.^[9]
- Fracció unitària: Fracció comuna de numerador 1.
- Fracció egípcia: Suma de fraccions unitàries.
- Fracció decimal: Fracció el denominador del qual és una potència de deu. També pot ser una fracció expressada en base 10, en contraposició amb les fraccions binàries i la resta de, que estan expressades en altres sistemes de numeració.
Fracció mixta: Suma d'un enter i una fracció pròpia. Les fraccions mixtes es poden expressar com a fraccions impròpies.
Una fracció irracional és, atès que totes les fraccions han de poder ser expressades com a fraccions vulgars, una terme contradictori. Un nombre irracional és, per definició, no racional, és a dir, no pot ser expressat com una fracció vulgar.
Una fracció contínua és una expressió com aquesta:

x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}

on els a_i són enters positius.

Fracció composta: Fracció on el numerador o denominador (o els dos) conté al seu torn fraccions.
Fracció parcial: La que pot usar-se per a descompondre una funció racional.

Comparació de fraccions

La comparació de fraccions permet determinar, d'una parella de fraccions o més, quina és la que té un valor superior. Es poden donar tres casos:

Fraccions amb igual denominador

Per fraccions que tenen el mateix denominador s'ha de comparar els numeradors és. La fracció amb major numerador serà més gran.

Exemple: ${\frac {9}{8}}$ i ${\frac {3}{8}}$ . La primera fracció és major, ja que 9> 3.

Fraccions amb igual numerador

De dues o més fraccions que tenen igual numerador és més gran la que té menor denominador.

Exemple: ${\frac {5}{4}}$ i ${\frac {5}{2}}$ . La major és ${\frac {5}{2}}$

Fraccions amb diferent numerador i denominador

Per fraccions amb diferent numerador i denominador, s'han de buscar fraccions equivalents trobant el mínim comú denominador (reduir fraccions a comú denominador) i, a partir d'aquí, seria un problema del primer cas.

Exemple: ${\frac {2}{4}}$ i ${\frac {3}{5}}$ El mínim comú denominador és 20, resultant ${\frac {10}{20}}$ i ${\frac {12}{20}}$ . Com 10 <12, ${\frac {2}{4}}$ < ${\frac {3}{5}}$