Fracción (matemáticas)
En matemáticas, unha fracción (do latín fractus, -a, um, 'roto', adxectivo que é o participio pasado de frango, frēgi, fractum, 'romper', 'quebrar') é a expresión dunha cantidade dividida entre outra.[1]
Diversas fraccións poden ter o mesmo valor (chamadas fraccións equivalentes); o conxunto de todas as fraccións equivalentes denomínase número racional. É a división racional que hai entre o numerador e o denominador.
Vocabulario
Nunha fracción, o numerador é o termo matemático que define ao número dunha fracción que representa o número de partes congruentes que se consideraron despois de dividir a unidade (sempre maior que 0) en tantas partes iguais como indica o denominador.
A fracción quedará claramente definida mediante a parella de termos numerador e denominador. Normalmente, ámbolos dous aparecen xuntos para representar á fracción e son distinguíbeis pola súa localización na fracción: o numerador ocupa unha posición superior e o denominador, inferior. No caso de atoparse ámbolos dous á mesma altura, ocuparán as posicións de esquerda e dereita, respectivamente.
Pódese dicir que o denominador dá nome, denomina, á fracción, e clasifícaa como: medio, terzo, cuarto, quinto, sexto, dezaseisavo, etc. segundo se o seu denominador é 2,3,4,5,6,16, etc.
Representación das fraccións
As fraccións pódense representar de diversas formas; así, a fracción "tres dividido entre catro", "tres entre catro", "tres partido por catro" ou "tres cuartos" pode escribirse de calquera destas formas:
- 3 ÷ 4
- 3 : 4
- 3 / 4
- 3/4 (¾)
Neste exemplo, o número 3 chámase numerador e o 4 denominador. As fraccións son números racionais, o que significa que o numerador e o denominador son números enteiros. O seu valor, en forma decimal, é 0,75, o mesmo resultado que se obtén ao dividir 3 entre 4.
No caso dunha representación gráfica, pódese trazar un círculo dividido en catro partes iguais, das que se retiraría unha das catro partes: as tres partes sobrantes representan a fracción ¾.
Clasificación das fraccións
Ano | Acontecemento |
---|---|
1800 a. C. | Os babilonios utilizan fraccións. |
1650 | Os exipcios fan uso de fraccións de unidade. |
100 d. C. | Os chineses inventan un sistema que permite calcular con fraccións. |
1202 | Leonardo de Pisa (Fibonacci) difunde a notación de fracción con barra. |
1585 | Simon Stevin expón unha teoría sobre as fraccións decimais. |
1700 | Uso xeneralizado da liña fraccionaria. |
Existen diversas formas para clasificar as fraccións, entre as que están as seguintes:
- Segundo a relación entre o numerador e o denominador:
- Fracción propia: fracción que ten o denominador maior que o numerador: ⅓, ⅜, ¾…
- Fracción impropia: fracción na que o numerador é maior que o denominador: 13/6, 18/8, 5/2…
- Segundo a relación entre os denominadores:
- Fraccións homoxéneas: fraccións que teñen o mesmo denominador: ¼ e ¾
- Fraccións heteroxéneas: fraccións que teñen diferentes denominadores: ¼ e ⅔
- Segundo a relación entre o numerador e o denominador:
- Fracción reducíbel: fracción na que o numerador e o denominador non son primos entre si e pode simplificarse: 6/12
- Fracción irredutíbel: fracción na que o numerador e o denominador son primos entre si e, por tanto, non pode simplificarse: ½
- Outras clasificacións:
- Fracción unitaria: fracción común de numerador 1.
- Fracción exipcia: sistema de representación das fraccións no antigo Exipto no que cada fracción se expresa como suma de fraccións unitarias.
- Fracción aparente ou enteira: fracción que representa calquera número pertencente ao conxunto dos enteiros: 3/3=1, ¹⅔=4…
- Fracción decimal: fracción cuxo denominador é unha potencia de dez. Tamén pode ser unha fracción expresada en base 10, en contraposición coas fraccións binarias e demais, que están expresadas noutros sistemas de numeración.
- Fracción mixta: suma dun enteiro e unha fracción propia. As fraccións mixtas pódense expresar como fraccións impropias: 3¼
- Unha fracción irracional é, dado que todas as fraccións deben poder ser expresadas como fraccións vulgares, un termo autocontraditorio. Un número irracional é, por definición, non racional, é dicir, non pode expresarse como unha fracción vulgar.
- Unha fracción continua é unha expresión como esta:
- onde os ai son enteiros positivos.
- Fracción composta: fracción cuxo numerador ou denominador (ou os dous) contén á súa vez fraccións.
- Fracción parcial: fracción que pode usarse para descompoñer unha función racional.
- Fracción como razón: fracción que serve para responder á pregunta en que relación están?, xa que pon de manifesto a relación que manteñen un par de números que poden provir dunha comparación.
Fracción dunha cantidade
De querermos dividir unha cantidade en varias partes e indicar un número destas partes, podemos facelo mediante fraccións, dividindo a cantidade polo denominador e multiplicando o resultado polo numerador. Así, se queremos indicar ¾ (tres cuartos, ou tres cuartas partes) de 453, hai que dividir 453 entre o denominador (neste caso, 4) e multiplicar o resultado polo numerador (neste caso, 3). O número obtido é a fracción que queremos indicar.
Operacións con fraccións
Amplificación e simplificación de fraccións
A amplificación dunha fracción consiste en multiplicar o numerador e o denominador por un mesmo número enteiro. Da mesma maneira, a simplificación dunha fracción consiste en dividir o numerador e o denominador entre un mesmo número enteiro, que xeralmente será un dos seus factores comúns. En ambos os casos, obtense unha fracción equivalente.
Exemplos:
- (Nesta amplificación da fracción ⅔, multiplícase numerador e denominador por 4)
- (Aquí simplifícase 10/25 a ⅖ dividindo numerador e denominador entre 5)
Comparación de fraccións
A comparación de dúas fraccións utilízase para comprobar cal é maior. Existen varios métodos:
- O método xeral consiste en amplificar as dúas fraccións de modo que teñan o mesmo denominador (por exemplo, que teñan o mínimo común múltiplo (MCM) das fraccións orixinais.
- Por exemplo, para e , o MCM de 12 e 8 é 24, polo que bastaría con multiplicar (amplificar) a primeira fracción nun factor de 2 e a segunda nun factor de 3. Obtense , que é maior que
- Se o numerador das dúas fraccións é o mesmo, a fracción co menor denominador é maior cá outra. Isto é bastante natural: se temos dúas tortas iguais, unha para repartir entre máis persoas que a outra, a que se reparta entre menos persoas estará partida en porcións máis grandes.
- Se o denominador das dúas fraccións é o mesmo, a fracción co maior numerador é maior cá outra.
Suma e resta de fraccións
Para sumar ou restar fraccións, temos dous casos:
Teñen o mesmo denominador
Entón súmanse ou réstanse os numeradores e deixase o denominador común.
- Exemplo 1:
É posíbel que o resultado poida simplificarse.
- Exemplo 2:
Teñen distinto denominador
Entón hai que amplificar as fraccións para que teñan o mesmo denominador e despois sumar (ou restar).
- Fórmula típica para a suma:
- Fórmula típica para a resta:
- Exemplo 1:
Observación: En realidade, non fai falta amplificar as fraccións de modo que o denominador resultante sexa o produto dos denominadores das fraccións iniciais. Basta con tomar o mínimo común múltiplo dos denominadores:
- Fórmula para a suma:
- Fórmula para a resta:
- Exemplo 2:
Ao final da operación, pode que sexa preciso realizar outra simplificación.
Produto e cociente de fraccións
Para multiplicar dúas fraccións basta con multiplicar os numeradores por unha parte e os denominadores por outra:
- Fórmula para o produto:
- Exemplo:
No cociente de fraccións, o numerador da fracción resultante é o produto do numerador da fracción dividindo polo denominador da fracción divisor, mentres que o denominador é igual ao denominador da fracción dividendo multiplicado polo numerador da fracción divisor. Outra maneira de imaxinalo é que dividir entre un número é o mesmo que multiplicar polo inverso dese número, polo que o cociente entre dúas fraccións é igual ao produto da primeira fracción polo inverso da segunda: