Llista de grups petits
Aquest article mostra una llista matemàtica dels grups finits d'ordre baix (una cardinalitat de fins a 16 elements) classificats per isomorfisme de grups.
Amb aquesta llista es pot determinar a quin grup conegut és isomorf un grup finit G donat: Cerqueu primer l'ordre de G, seguidament cerqueu els candidats per aquell ordre a la llista. Si sabeu si G és o no és abelià potser podreu descartar alguns candidats. Per a distingir entre els candidats restants podeu mirar l'ordre dels elements de G i comparar-los amb els ordres dels elements dels candidats.
Terminologia
El signe d'igualtat "=" denota isomorfisme de grups.
- Cn: el grup cíclic d'ordre n (es correspon amb el grup additiu de ℤ/nℤ, denotat de vegades ℤn).
- Dn: el grup dièdric d'ordre 2n (de vegades s'usa la notació D2n o D2,n)
- Sn: el grup simètric que conté les n! permutacions d'un conjunt de n elements.
- An: el grup alternat amb les n!/2 permutacions de Sn que tenen signe parell.
- Dicn: el grup dicíclic d'ordre 4n.
La notació G × H indica el producte directe de dos grups; Gn indica el producte directe d'un grup amb ell mateix n vegades. 
S'indiquen els que són grups abelians i els que són grups simples. (Per als grups d'ordre n < 60, els grups simples són exactament els grups cíclics Cn, per a n primer).
L'element neutre està representat per un cercle negre als grafs dels cicles. L'ordre més petit per al qual el graf no representa unívocament un grup és ordre 16.
A les llistes de subgrups, el grup trivial i el mateix grup no apareixen indicats. Als casos on hi ha múltiples subgrups isomorfs, el nombre d'aparicions s'indica entre parèntesis.
Llista de grups abelians petits
Els grups abelians finits es classifiquen fàcilment: són grups cíclics o els seus productes directes. El teorema xinès del residu ens pot ajudar a trobar els isomorfismes amb aquests productes directes. Els grups abelians finitament generats també es poden classificar. Vegeu més informació a l'article grup abelià.
| Ordre | Grup | Subgrups | Propietats | Graf dels cicles |
|---|---|---|---|---|
| 1 | grup trivial = C1 = S1 = A₂ | - | trivialment té propietats diverses |  |
| 2 | C₂ = S₂ = D1 | - | simple, el grup no trivial més petit |  |
| 3 | C₃ = A₃ | - | simple |  |
| 4 | C₄ | C₂ |  | |
| Grup de Klein = C₂ × C₂ = D₂ | C₂ (3) | el grup no cíclic més petit |  | |
| 5 | C₅ | - | simple |  |
| 6 | C₆ = C₃ × C₂ | C₃, C₂ |  | |
| 7 | C₇ | - | simple |  |
| 8 | C₈ | C₄, C₂ |  | |
| C₄ × C₂ | C₂², C₄ (2), C₂ (3) |  | ||
| C₂3 | C₂² (7), C₂ (7) |  | ||
| 9 | C9 | C₃ |  | |
| C₃² | C₃ (4) |  | ||
| 10 | C10 = C₅ × C₂ | C₅, C₂ |  | |
| 11 | C11 | - | simple |  |
| 12 | C₁₂ = C₄ × C₃ | C₆, C₄, C₃, C₂ |  | |
| C₆ × C₂ = C₃ × C₂² | C₆ (3), C₃, C₂ (3), C₂² |  | ||
| 13 | C13 | - | simple |  |
| 14 | C14 = C₇ × C₂ | C₇, C₂ |  | |
| 15 | C15 = C₅ × C₃ | C₅, C₃ |  | |
| 16 | C16 | C₈, C₄, C₂ |  | |
| C₂4 | C₂ (15), C₂² (35), C₂3 (15) |  | ||
| C₄ × C₂² | C₂ (7), C₄ (4), C₂² (7), C₂3, C₄ × C₂ (6) |  | ||
| C₈ × C₂ | C₂ (3), C₄ (2), C₂², C₈ (2), C₄ × C₂ |  | ||
| C₄² | C₂ (3), C₄ (6), C₂², C₄ × C₂ (3) |  |
Llista de grups no abelians petits
| Ordre | Grup | Subgrups | Propietats | Graf dels cicles |
|---|---|---|---|---|
| 6 | S₃ = D₃ | C₃, C₂ (3) | el grup no abelià més petit |  |
| 8 | D₄ | C₄, C₂² (2), C₂ (5) |  | |
| Grup dels quaternions, Q₈ = Dic₂ | C₄ (3), C₂ | el grup hamiltonià més petit |  | |
| 10 | D₅ | C₅, C₂ (5) |  | |
| 12 | D₆ = D₃ × C₂ | C₆, D₃ (2), C₂² (3), C₃, C₂ (7) |  | |
| A₄ | C₂², C₃ (4), C₂ (3) | el grup més petit que demostra que un grup no ha de tenir forçosament un subgrup de cada ordre que divideix l'ordre del grup: no té cap subgrup d'ordre 6 (en contra del recíproc al teorema de Lagrange, com ja indiquen els teoremes de Sylow.) |  | |
Dic₃ =  | C₂, C₃, C₄ (3), C₆ |  | ||
| 14 | D₇ | C₇, C₂ (7) |  | |
| 16[1] | D₈ | C₈, D₄ (2), C₂² (4), C₄, C₂ (9) |  | |
| D₄ × C₂ | D₄ (2), C₄ × C₂, C₂3 (2), C₂² (11), C₄ (2), C₂ (11) |  | ||
| Grup generalitzat dels quaternions Q16 = Dic₄ |  | |||
| Q₈ × C₂ | grup hamiltonià |  | ||
| El grup quasidièdric d'ordre 16 |  | |||
| El grup d'Iwasawa d'ordre 16 | | |||
 |  | |||
| El grup generat per les matrius de Pauli | | |||
G4,4 =  |  |
Llibreria de grups petits
Els sistemes computacionals algebraics de teoria de grups GAP i Magma contenen la «Llibreria de grups petits» que proporciona accés a descripcions de grups d'ordre baix. Es llisten els grups llevat d'isomorfisme. Actualment aquesta llibreria conté els grups següents:[2]
- Tots els grups d'ordre com a molt 2000, excepte en l'ordre 1024. Són 423.164.062 grups. Els d'ordre 1024 no apareixen: només comptant els 2-grups d'ordre 1024 no isomorfs n'hi ha 49.487.365.422.
- Els d'un ordre lliure de cubs i com a molt 50.000. Són 395.703 grups.
- Els d'un ordre lliure de quadrats.
- Els d'ordre pn per a n fins a 6 i p un nombre primer.
- Els d'ordre p7 per a p essent 3, 5, 7 o 11. Són 907.489 grups.
- Els d'ordre qn⋅p on qn divideix 28, 3⁶, 5⁵ o 74 i el nombre p és un primer arbitrari diferent de q.
- Aquells l'ordre dels quals factoritza en tres primer com a molt.
Conté descripcions explícites dels grups disponibles en format ordinador.
Vegeu també
- Grup (matemàtiques)
- Introducció a la teoria de grups
- Teoria de grups
- Grup finit
- Grup abelià finit
- Grup simple
- Llista de grups finits simples
Enllaços externs
- Pedersen, John. «Groups of small order» (en anglès).
- Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en anglès).
- Hall, Jr., Marshall; Senior, James K. The Groups of Order 2n (n ≤ 6) (en anglès). Macmillan, 1964. «Un catàleg exhaustiu dels 340 grups amb ordre divisor de 64.»