Teorema de Lagrange (àlgebra)

Consideri's inicialment una relació d'equivalència ${\displaystyle \sim _{H}}$ sobre un grup finit G, definida com:

${\displaystyle x\sim _{H}y\Leftrightarrow x^{-1}y\in H,~~\forall x,y\in G}$

Atès que se sap per hipòtesi que G és finit, se sap que únicament poden existir un nombre finit de classes d'equivalència diferents, és a dir, l'índex de H en G és finit. Es pot demostrar que:

${\displaystyle gH=\{gh:h\in H\},g\in G}$

és la classe d'equivalència de g per a la relació ${\displaystyle \sim _{H}}$ . Suposi's llavors que les classes d'equivalència diferents són: ${\displaystyle ~g_{1}H,g_{2}H,\dots ,g_{m}H}$ . Atès que són diferents i són totes les possibles, G és la unió disjunta d'aquestes classes:

${\displaystyle |G|=|g_{1}H|+|g_{2}H|+\dots +|g_{m}H|=\sum _{r=1}^{m}{|g_{r}H|},~~g_{r}\in G.}$

Sigui ${\displaystyle H=\{h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\}\subseteq G}$ . Fixat un enter ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$ , de la igualtat ${\displaystyle g_{i}h_{j}=g_{i}h_{l}}$ es dedueix que ${\displaystyle h_{j}=\ h_{l}}$ . Per tant, els elements de la classe ${\displaystyle g_{i}H}$ són tots diferents, ja que:

${\displaystyle g_{i}H=\{g_{i}h_{1},\dots ,g_{i}h_{n}\}.}$

Així, ${\displaystyle \forall i:|g_{i}H|=|H|}$ , llavors ${\displaystyle |G|=m|H|}$ . D'aquí, es desprèn que ${\displaystyle |H|}$ divideix ${\displaystyle |G|}$ i de fet m és l'índex ${\displaystyle [G:H]}$ , ja que:

${\displaystyle [G:H]=i(H,G)={\frac {|G|}{|H|}}=m.}$

Per tant:

${\displaystyle |G|=[G:H]|H|=i(H,G)|H|}$

quedant doncs demostrat l'enunciat del teorema -QED.

Consideri's un element ${\displaystyle a\in G}$ qualsevol, el subgrup generat per a ha de satisfer el teorema de Lagrange. Per tant, l'ordre de qualsevol element de G, que coincideix amb el cardinal del subgrup generat per ell, divideix l'ordre de G.^[2]

Una conseqüència immediata d'això és que tot grup ${\displaystyle G}$ d'ordre primer ${\displaystyle p}$ és cíclic, ja que l'ordre d'un element ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle G}$ diferent a la identitat només pot ser ${\displaystyle p}$ , i doncs ${\displaystyle a}$ és un generador de ${\displaystyle G}$ .

A partir del teorema de Lagrange es pot, per exemple, demostrar que si ${\displaystyle H,K}$ són subgrups finits d'un grup ${\displaystyle G}$ , llavors

${\displaystyle |HK|={\frac {|H||K|}{|H\cap K|}}}$

on ${\displaystyle HK=\{hk\mid h\in H\ \ {\mbox{y}}\ \ k\in K\}}$ (aquest conjunt pot no ser un subgrup de ${\displaystyle G}$ ).

El teorema de Lagrange proporciona una forma interessant de demostrar que l'ordre del grup simètric ${\displaystyle S_{n}}$ de las permutacions de ${\displaystyle n}$ símbols és ${\displaystyle n!}$ .^[3] A més, si ${\displaystyle A_{n}}$ és el subgrup alternant de ${\displaystyle S_{n}}$ , llavors:

${\displaystyle |A_{n}|={\frac {|S_{n}|}{2}}={\frac {n!}{2}},}$

ja que ${\displaystyle [S_{n}:A_{n}]=2\,\!}$ .

El teorema de Lagrange és en realitat un cas especial del fet següent:

En aquest cas ${\displaystyle G}$ i els subgrups ${\displaystyle H,K}$ poden ser infinits. Així, el teorema de Lagrange es converteix en un cas particular d'aquest fet, ja que l'expressió inicial pren ${\displaystyle K}$ com el subgrup trivial de ${\displaystyle G}$ en aquesta última equació.