O Teorema de Lagrange , aplicado na teoria dos grupos , é um teorema que diz que se G {\displaystyle G} é um grupo finito e H {\displaystyle H} é subgrupo de G {\displaystyle G} então a ordem (quantidade de elementos) de H {\displaystyle H} divide a ordem de G . {\displaystyle G.} Provemos um resultado antes de partir para a demonstração do Teorema de Lagrange .
Teorema 0.1
Se ⋆ {\displaystyle \star } é uma relação de equivalência em S {\displaystyle S} então S = ⋃ [ a ] , {\displaystyle S=\bigcup [a],} onde tal união é sobre um elemento de cada classe e onde [ a ] ≠ [ b ] {\displaystyle [a]\neq [b]} implica [ a ] ∩ [ b ] = ∅ . {\displaystyle [a]\cap [b]=\emptyset .} Ou seja, ⋆ {\displaystyle \star } particiona S {\displaystyle S} em classes de equivalência .
Demonstração Seja a ∈ S . {\displaystyle a\in S.} Note que a ∈ [ a ] . {\displaystyle a\in [a].} Portanto, é claro que S = ⋃ a ∈ S [ a ] . {\displaystyle S={\underset {a\in S}{\bigcup }}[a].}
Suponhamos que [ a ] ∩ [ b ] ≠ ∅ {\displaystyle [a]\cap [b]\neq \emptyset } e provemos que [ a ] = [ b ] . {\displaystyle [a]=[b].}
Seja c ∈ [ a ] ∩ [ b ] . {\displaystyle c\in [a]\cap [b].}
Então c ⋆ a {\displaystyle c\star a} e c ⋆ b . {\displaystyle c\star b.}
Por um lado { c ⋆ a ⇔ a ⋆ c c ⋆ b ⇒ a ⋆ b ⇒ a ∈ [ b ] {\displaystyle {\begin{cases}c\star a\Leftrightarrow a\star c\\c\star b\end{cases}}\Rightarrow a\star b\Rightarrow a\in [b]}
Por outro { c ⋆ a c ⋆ b ⇔ b ⋆ c ⇒ b ⋆ a ⇒ b ∈ [ a ] . {\displaystyle {\begin{cases}c\star a\\c\star b\Leftrightarrow b\star c\end{cases}}\Rightarrow b\star a\Rightarrow b\in [a].}
Seja x ∈ [ a ] . {\displaystyle x\in [a].}
Então x ⋆ a . {\displaystyle x\star a.}
Mas a ⋆ b , {\displaystyle a\star b,} logo x ⋆ b {\displaystyle x\star b} e assim x ∈ [ b ] . {\displaystyle x\in [b].}
Portanto [ a ] ⊂ [ b ] . {\displaystyle [a]\subset [b].} Seja y ∈ [ b ] . {\displaystyle y\in [b].}
Então y ⋆ b . {\displaystyle y\star b.} Mas b ⋆ a , {\displaystyle b\star a,} logo y ⋆ a {\displaystyle y\star a} e assim y ∈ [ a ] . {\displaystyle y\in [a].}
Portanto [ b ] ⊂ [ a ] . {\displaystyle [b]\subset [a].}
E, dessa forma, [ a ] = [ b ] . {\displaystyle [a]=[b].} ◻ {\displaystyle \Box }
Demonstração do Teorema de Lagrange Seja ⋆ {\displaystyle \star } a relação de equivalência definida por a ⋆ b {\displaystyle a\star b} se a b − 1 ∈ H . {\displaystyle ab^{-1}\in H.}
Temos que [ a ] = H a = { h a | h ∈ H } . {\displaystyle [a]=Ha=\{ha~|~h\in H\}.}
Seja k {\displaystyle k} o número de classes de distintas de G {\displaystyle G} - chamemo-as de H a 1 , … , H a k . {\displaystyle Ha_{1},\ldots ,Ha_{k}.}
Pelo Teorema 0.1 , G = H a 1 ∪ … ∪ H a k {\displaystyle G=Ha_{1}\cup \ldots \cup Ha_{k}} e sabemos que H a i ∩ H a j = ∅ , {\displaystyle Ha_{i}\cap Ha_{j}=\emptyset ,} se i ≠ j . {\displaystyle i\neq j.}
Provemos que qualquer H a i {\displaystyle Ha_{i}} possui | H | {\displaystyle |H|} elementos.
Seja φ : H → H a i {\displaystyle \varphi :H\to Ha_{i}} uma função tal que φ ( h ) = h a i , ∀ h ∈ H {\displaystyle \varphi (h)=ha_{i},~\forall h\in H}
Provemos que φ {\displaystyle \varphi } é bijetora.
Note que φ {\displaystyle \varphi } é injetora pois φ ( h ) = h a i = h ′ a i = φ ( h ′ ) {\displaystyle \varphi (h)=ha_{i}=h'a_{i}=\varphi (h')} implica h = h ′ {\displaystyle h=h'} e é sobrejetora pela definição de H a i . {\displaystyle Ha_{i}.}
Potanto, φ {\displaystyle \varphi } é bijetora e, assim, | H a i | = | H | . {\displaystyle |Ha_{i}|=|H|.}
Como G = H a 1 ∪ … ∪ H a k {\displaystyle G=Ha_{1}\cup \ldots \cup Ha_{k}} e tais H a i {\displaystyle Ha_{i}} são disjuntos com | H | {\displaystyle |H|} elementos, teremos que | G | = k | H | . {\displaystyle |G|=k|H|.}
Portanto, | H | {\displaystyle |H|} divide | G | . {\displaystyle |G|.} ◻ {\displaystyle \Box }
Ver também