Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)

Zobacz też: warstwa § Własności.

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą skończoną. Zbiór warstw lewostronnych ${\displaystyle \{gH:g\in G\}}$ grupy ${\displaystyle G}$ względem podgrupy ${\displaystyle H}$ stanowi rozbicie zbioru ${\displaystyle G}$ na ${\displaystyle n=|G:H|}$ równolicznych ze zbiorem ${\displaystyle H}$ zbiorów: ${\displaystyle g_{1}H,g_{2}H,\dots ,g_{n}H.}$

W ten sposób

${\displaystyle G=g_{1}H\cup g_{2}H\cup \ldots \cup g_{n}H,}$

a skoro poszczególne warstwy są rozłączne, to

${\displaystyle |G|=|g_{1}H|+|g_{2}H|+\ldots +|g_{n}H|,}$

przy czym wszystkie warstwy są równoliczne z ${\displaystyle H,}$ co oznacza, że

${\displaystyle |G|=|H|+|H|+\ldots +|H|=n|H|,}$

zatem

${\displaystyle |G|=|G:H|\cdot |H|.}$

• Rząd dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzędu grupy (wynika to wprost z definicji rzędu). W szczególności, dla dowolnego elementu ${\displaystyle g}$ danej grupy ${\displaystyle G}$ prawdziwa jest równość ${\displaystyle g^{n}=e,}$ gdzie ${\displaystyle e}$ jest elementem neutralnym grupy, a ${\displaystyle n}$ oznacza jej rząd.
• Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest ona grupą cykliczną.
• Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a nie jest prawdziwe, tzn. nie gwarantuje, że dla każdego dzielnika rzędu grupy istnieje podgrupa, której rząd jest równy danemu dzielnikowi.

Najmniejszym przykładem jest grupa alternująca ${\displaystyle A_{4}.}$ Choć dzielnikami rzędu grupy ${\displaystyle A_{4}}$ są ${\displaystyle 1,2,3,4,6,12,}$ to grupa ${\displaystyle A_{4}}$ zawiera jako podgrupy wyłącznie: ${\displaystyle 1}$ -elementową grupę trywialną, trzy ${\displaystyle 2}$ -elementowe i cztery ${\displaystyle 3}$ -elementowe grupy cykliczne, ${\displaystyle 4}$ -elementową grupę niecykliczną oraz ${\displaystyle 12}$ -elementową grupę niewłaściwą; w szczególności nie ma podgrupy ${\displaystyle 6}$ -elementowej.

Częściowym rozwiązaniem problemu istnienia podgrup danego rzędu są twierdzenie Cauchy’ego oraz twierdzenia Sylowa. W ogólności nie ma prostego sposobu na podział grup skończonych na te, które spełniają twierdzenie odwrotne i te, które go nie spełniają. Można jednak wyróżnić trzy klasy grup skończonych, które spełniają twierdzenie odwrotne: grupy abelowe, grupy diedralne i grupy pierwsze (są one przypadkami szczególnymi grup superrozwiązalnych, dla których twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a zachodzi).

• Twierdzenie to rozumiane jako stwierdzenie o liczbach kardynalnych jest równoważne aksjomatowi wyboru.

Twierdzenie

Jeżeli ${\displaystyle G}$ jest skończona oraz ${\displaystyle K\leqslant H\leqslant G,}$ to zachodzi

${\displaystyle |G:K|=|G:H|\cdot |H:K|.}$

Dowód

Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że

${\displaystyle |G|=|G:K|\cdot |K|=|G:H|\cdot |H|}$

oraz

${\displaystyle |H|=|H:K|\cdot |K|,}$

skąd

${\displaystyle |G:K|\cdot |K|=|G:H|\cdot |H:K|\cdot |K|.}$

• twierdzenie Cauchy’ego
• twierdzenia Sylowa