Den pythagoræiske læresætning

Der findes flere måder at bevise den pythagoræiske læresætning på.

Bevis ud fra arealer

Det omskrevne kvadrat har arealet:

${\displaystyle A=(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\!}$

Det samme areal kan beregnes som summen af arealerne af de fire trekanter og arealet af det indskrevne kvadrat:

${\displaystyle A=4\cdot \left({\frac {a\cdot b}{2}}\right)+c^{2}=2\cdot a\cdot b+c^{2}\!}$

Disse to forskellige udtryk for det samme areal sættes lig hinanden:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b=2\cdot a\cdot b+c^{2}\!}$

Denne ligning reduceres til:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\!}$

Hermed er sætningen bevist.

Anvender ensvinklede trekanter

${\displaystyle {\frac {d}{a}}={\frac {a}{c}}\quad \Rightarrow \quad d={\frac {a^{2}}{c}}\quad (1)}$

${\displaystyle {\frac {e}{b}}={\frac {b}{c}}\quad \Rightarrow \quad e={\frac {b^{2}}{c}}\quad (2)}$

Fra billedet ${\displaystyle c=d+e\,\!}$ . Og ved at erstatte ligninger (1) og (2):

${\displaystyle c={\frac {a^{2}}{c}}+{\frac {b^{2}}{c}}}$

Mangedobling for c:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,\!.}$

Der findes imidlertid også en udvidet pythagoræisk læresætning, som gælder for alle trekanter, ikke kun de retvinklede. Denne kaldes cosinusrelationen. Den kaldes den udvidede Pythagoras, da den for det første i sin opbygning minder meget om Pythagoras' læresætning og desuden er beviset for sætningen baseret herpå.

Cosinusrelationerne er givet ved

${\displaystyle {a^{2}}={b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}\!}$ ,

hvor ${\displaystyle A}$ er vinklen mellem linjerne ${\displaystyle b}$ og ${\displaystyle c}$ . Her er det lige meget hvilke af siderne der benævnes med ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ og ${\displaystyle c}$ .

Den omvendte sætning af den pythagoræiske læresætning er også sand. Det vil sige at hvis længden af siderne i en trekant opfylder: :${\displaystyle {a^{2}}+{b^{2}}={c^{2}}}$ , så er vinkel C en ret vinkel, og derfor er trekanten retvinklet.

• Retvinklet trekant
• Sinusrelation
• Cosinusrelation.

• Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Den pythagoræiske læresætning
• Bevis fra Hans Christian Andersen: Formens evige Magie Arkiveret 29. oktober 2013 hos Wayback Machine