勾股定理
平面幾何
勾股定理云:「勾股各自乘,並之,為弦實。開方除之,即弦。」
中華曰商高肇之,故又曰商高定理,始述於周髀算經,東漢末趙爽以勾股方圓圖證;泰西曰畢氏定理,古埃及人或巴比倫人所肇,古希臘畢達哥拉斯始證。
非歐幾何
觀球面,勾股定理云:「勾股各除以半徑,取餘弦,乘之,股除以半徑之餘弦也。」( )
觀曲率為負一之雙曲平面,勾股定理云:「勾股各取雙曲餘弦,乘之,股之雙曲餘弦也。」( )
證明
趙爽「勾股圓方圖」之證
釋:設「勾」為 a,「股」為 b,「弦」為 c。「勾股相乘」乃 ab ,即朱實二(因朱實乃三角形,面積乃 也)。倍之者,乃 2ab ,即朱實四也。「勾股之差」乃 b-a ,其方者乃 ,黃實也。朱實四及黃實之和,弦實也,即 。是故 ,化簡得 。勾股定理得證矣。
簡述之,則以
即勾股定理
c者,大方之邊也,2ab者,朱實之幂也。
劉徽「割補術」之證
釋:設「勾」為 a,「股」為 b,「弦」為 c。「勾自乘」乃 ,即「朱方」;「股自乘」乃 ,即「青方」。朱方及青方之和,等於大正方形之面積,乃「弦方」,即 。故 也。
歐幾里得《幾何原本》之證
設 為一直角三角形,其 者,直角也。自A點作垂線於對邊。延是線,分對邊之正方形為二也,其面積等於二正方形之和也。
證之先,有四輔助定理:
- 有三角形二,若等其二邊,并等其夾角,則二者,全等也。(SAS定理)
- 三角形之面積者,半之同底同高之平行四邊形之面積也。
- 任一正方形之面積者,邊長平方也。
- 任一矩形之面積者,長寛之乘積也(據輔助定理三)。
證之思:上述二正方形,輔之以同底等高之三角形,據其面積關係,等於下二等面積之矩形也。
證明:
- 設 為一直角三角形,其 者,直角也。
- 其邊,BC、AB、CA也。依序繪四方形,CBDE、BAGF及ACIH也。
- 經點A作平行線於BD、CE也。交BC及DE分別於點K、L也。
- 連CF、AD,三角形 及三角形 成也。
- 及 者,直角也。是故C、A、G都三點共線。同理可證B、A、H三點共線。
- 及 ,皆直角也,故 等於 。
- 因AB及BD分別等於FB及BC,故 等於 。
- 因A、K、L三點共線,故矩形BDLK之面積,二倍於 也。
- 因C、A、G三點共線,故矩形BAGF之面積,二倍於 也。
- 是故矩形BDLK之面積,等於BAGF之面積也,乃 也。
- 同理可證,四邊形CKLE之面積,等於四邊形ACIH之面積也,乃 。
- 求和,得 。
- 又 , 。
- 又四邊形CBDE者,正方形也,故 也。
是證著於歐幾里得《幾何原本》第1.47節[一]。
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