પાયથાગોરસનું પ્રમેય

આકૃતિમાંના બે મોટા ચોરસમાં ચાર સરખા ત્રિકોણ છે, અને બે મોટા ચોરસ વચ્ચેનો એક માત્ર ફરક એ છે કે ત્રિકોણ અલગ રીતે ગોઠવાયેલા છે. તેથી, બંને મોટા ચોરસની અંદરની સફેદ જગ્યા સમાન વિસ્તાર હોવી જરૂરી છે. સફેદ અવકાશના ક્ષેત્રફળ સરખાવવાથી પાયથાગોરસનું પ્રમેય મળે છે, ઇતિ સિદ્ધમ ^[૨]

હીથ યુક્લિડના એલિમેન્ટ્સના પ્રપોઝિશન I.47 પર તેના ભાષ્યમાં આ સાબિતી આપે છે, અને Bretschneider અને Hankelની દરખાસ્તો, કે પાયથાગોરસને આ સાબિતી ખબર હોઇ શકે છે, નો ઉલ્લેખ કરે છે. પાયથાગોરસના પ્રમેયની સાબિતી માટે હીથ પોતે જુદા પ્રસ્તાવની તરફેણ કરે છે, પરંતુ તે ચર્ચાની શરૂઆતથી સ્વીકારે છે કે "પાયથાગોરસ પછીની પ્રથમ પાંચ સદીઓનું આપણી પાસે જે ગ્રીક સાહિત્ય છે, તેમાં આ અથવા કોઈ અન્ય મહાન ભૌમિતિક શોધનો ઉલ્લેખ કરતી નોંધ નથી. " પાયથાગોરસની ગણિતના સર્જક તરીકેની કોઈપણ પ્રકારની ભૂમિકા પર તાજેતરના તજજ્ઞો વધુ ને વધુ શંકા પેદા કરી રહ્યા છે, જોકે આ વિશે ચર્ચા હજુ ચાલુ જ છે.

જો c કર્ણની લંબાઈ હોય અને a અને b અન્ય બે બાજુઓની લંબાઈ હોય, તો પાયથાગોરસના પ્રમેયને પાયથાગોરસના સમીકરણ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

જો a અને b બંનેની લંબાઈ જ્ઞાત હોય, તો C ની ગણતરી આ રીતે કરી શકાય છે

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

જો કર્ણ c અને એક બાજુ ( a અથવા b )ની લંબાઈ જ્ઞાત હોય, તો બીજી બાજુની લંબાઈ આ પ્રમાણે ગણી શકાય

${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$

અથવા

${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.}$

પાયથાગોરસનું સમીકરણ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓનો સરળ સંબંધ આપે છે, જેથી જો કોઈ પણ બે બાજુની લંબાઈ જ્ઞાત હોય તો ત્રીજી બાજુની લંબાઈ મળી શકે. પ્રમેયનું બીજુ પરિણામ એ છે કે કોઈપણ કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણ એ કોઈપણ બાજુ કરતાં મોટો હોય છે, પરંતુ તેમના સરવાળા કરતા નાનો હોય છે.

આ પ્રમેયનું સામાન્યકરણ કોસાઈનનો નિયમ છે, જે કોઈપણ ત્રિકોણની બે બાજુઓની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા પરથી ત્રીજી બાજુની લંબાઈની ગણતરી શક્ય બનાવે છે. જો બે બાજુઓ વચ્ચેનો કોણ કાટકોણ હોય, તો કોસાઇનનો નિયમ પાયથાગોરસના સમીકરણમાં પરિણમે છે.

આ પ્રમેયની અન્ય કોઈપણ પ્રમેય કરતાં વધુ જાણીતી સાબિતીઓ હોઈ શકે છે (તે પદનો બીજો દાવેદાર ચતુર્ભુજ પારસ્પરિકતાનો નિયમ છે); પાયથાગોરસની પ્રસ્તાવના પુસ્તકમાં 370 સાબિતીઓ છે.

સમરૂપ ત્રિકોણની મદદથી સાબિતી

આ સાબિતી બે સમરૂપ ત્રિકોણની બાજુઓના ગુણોત્તર પર આધારિત છે, એટલે કે, સમરૂપ ત્રિકોણની કોઈપણ બે અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર (ત્રિકોણના કદથી સ્વતંત્ર રીતે) સમાન હોય છે.

આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ, ABC એક કાટકોણ ત્રિકોણ હોય, જેમાં C પર કાટકોણ હોય. બિંદુ Cમાંથી લંબ દોરો, અને બાજુ AB સાથે તેના છેદબિંદુને H કહો. બિંદુ H કર્ણ cની લંબાઈને ભાગો d અને eમાં વિભાજિત કરે છે. નવો ત્રિકોણ ACH ત્રિકોણ ABCને સમરૂપ છે, કારણ કે તેઓ બંને કાટખૂણો ધરાવે છે (લમ્બની વ્યાખ્યા પરથી), અને તેમાં ખૂણો A સામાન્ય છે, જેનો અર્થ છે કે આકૃતિમાં θ વડે દર્શાવેલો તૃતીય કોણ બન્ને ત્રિકોણમાં સમાન જ હશે. આવા જ તર્ક દ્વારા, ત્રિકોણ CBH પણ ABC ને સમરૂપ છે. ત્રિકોણની સમરૂપતાની સાબિતી માટે ત્રિકોણ પૂર્વધારણાની આવશ્યકતા છે: ત્રિકોણમાં ત્રણે કોણનો સરવાળો બે કાટખૂણાઓ જેટલો થાય છે, અને તે સમાંતર પૂર્વધારણાની સમકક્ષ છે. ત્રિકોણની સમરૂપતા અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરની સમાનતા તરફ દોરી જાય છે:

${\displaystyle {\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ and }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.}$

પ્રથમ પરિણામ ખૂણા θ ના cosines, જ્યારે બીજા પરિણામ તેના સાઈન સરખાવે છે.

આ ગુણોત્તરને નીચે મુજબ લખી શકાય છે

${\displaystyle BC^{2}=AB\times BH{\text{ and }}AC^{2}=AB\times AH.}$

આ બંને સમીકરણનો સરવાળો કરતા -

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB\times (AH+BH)=AB^{2},}$

જે ઉકેલતા, પાયથાગોરસનું પ્રમેય રજૂ કરે છે:

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}\ .}$

ઇતિહાસમાં આ સાબિતીની ભૂમિકા ઘણી અટકળોનો વિષય છે. એની પાછળનો સવાલ એ છે કે યુક્લિડે શા માટે આ સાબિતીનો ઉપયોગ ન કર્યો, પરંતુ બીજી સાબિતીની શોધ કરી. એક અટકળ છે કે સમરૂપ ત્રિકોણ દ્વારા સાબિતી ગુણોત્તરના સિદ્ધાંત સાથે સંકળાયેલી છે, જે એલિમેન્ટ્સમાં પાછળથી ચર્ચા કરાયેલો વિષય છે, અને ગુણોત્તર સિદ્ધાંતનો તે સમયે વધુ અભ્યાસ કરવો જરૂરી હતો છે. ^[૩]

• પાયથાગોરસનું પ્રમેય ProofWiki પર.