Ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς

Μία συνάρτηση ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ είναι εσωτερικό γινόμενο ενός διανυσματικού χώρου ${\displaystyle V}$ με σώμα ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (για ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ή ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$ ), αν ικανοποιεί τις εξής τρεις συνθήκες:

• ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle >0}$ για κάθε ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ με ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$ .
• ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ για κάθε ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$ .
• ${\displaystyle \langle a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ,\mathbf {z} \rangle =a\langle \mathbf {x} ,\mathbf {z} \rangle +b\langle \mathbf {y} ,\mathbf {z} \rangle }$ για κάθε ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V}$ και ${\displaystyle a,b\in \mathbb {F} }$ .

H ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$

${\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ,}$

όπου ${\displaystyle \textstyle \lVert \mathbf {x} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ και ${\displaystyle \textstyle \lVert \mathbf {y} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}}$ και ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα ${\displaystyle \mathbf {x} }$ και ${\displaystyle \mathbf {y} }$ είναι συγγραμικά, δηλαδή ${\displaystyle \mathbf {x} =\lambda \mathbf {y} }$ για κάποιο ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {F} }$ .

Υπάρχουν πολλές αποδείξεις για αυτή την ανισότητα.^[1]: 12-16 Παρακάτω δίνεται μία απόδειξη που δουλεύει μόνο για πραγματικούς χώρους και μία που δουλεύει για κάθε διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο.

Απόδειξη για πραγματικούς χώρους

Έστω ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$ . Θεωρούμε το διάνυσμα ${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} }$ για τυχόν ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ . Από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου

${\displaystyle \langle \mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \rangle \geq 0}$ .

Επεκτείνοντας το αριστερό μέλος χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle -\langle \lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}-2\lambda \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\lambda ^{2}\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}.\end{aligned}}}$

Όταν ${\displaystyle \lVert \mathbf {y} \rVert >0}$ (δηλαδή όταν ${\displaystyle \mathbf {y} \neq \mathbf {0} }$ ) τo δεξί μέλος είναι ένα τριώνυμο του ${\displaystyle \lambda }$ και για να είναι πάντα μη-αρνητικό πρέπει να έχει διακρίνουσα ${\displaystyle \Delta \leq 0}$ . Επομένως,

${\displaystyle \Delta =4\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ^{2}-4\cdot \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}\cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\leq 0}$ .

Αναδιατάσσοντας και παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη,

${\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert }$ ,

που είναι η ζητούμενη ανισότητα. Επομένως, μένει να ελέγξουμε την περίπτωση ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {0} }$ , η οποία προκύπτει άμεσα καθώς και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μηδέν.

Γενική απόδειξη

Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι για κάθετα διανύσματα ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$ , δηλαδή με ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0}$ , ισχύει ότι

${\displaystyle \lVert \mathbf {u} +\mathbf {v} \rVert ^{2}=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}=\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}.}$

Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς για κάθε ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$ . Αν ${\displaystyle \lVert \mathbf {y} \rVert =0}$ , τότε ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {0} }$ και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μηδέν, επομένως ισχύει άμεσα. Διαφορετικά, θεωρούμε το διάνυσμα

${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \in V.}$

Αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στο ${\displaystyle \mathbf {y} }$ , καθώς

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {z} ,\mathbf {y} \rangle &=\left\langle \mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} ,\mathbf {y} \right\rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0.\end{aligned}}}$

Επομένως,

${\displaystyle \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}=\left\|\mathbf {z} +{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \right\|^{2}=\lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}+\left\|{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \right\|^{2}=\lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}+{\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |}{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\geq {\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |}{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}.}$

()

Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ζητούμενη ανισότητα

${\displaystyle \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}\cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\geq |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |.}$

Επίσης, η ισότητα από την (1) ισχύει αν και μόνο αν, ${\displaystyle \lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}=0}$ δηλαδή ανν

${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {0} \Leftrightarrow \mathbf {x} ={\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} }$ ,

δηλαδή ανν τα διανύσματα είναι συγγραμικά.

Τριγωνική ανισότητα

Η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να αποδείξει την τριγωνική ανισότητα σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο.^[2]: 19 Θεωρούμε ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$ , τότε

${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert ^{2}&=\langle \mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }}+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2\mathrm {Re} (\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle )+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\\&\leq \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2},\end{aligned}}}$

όπου χρησιμοποιήσαμε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ το πραγματικό του μέρος είναι μικρότερο από την απόλυτη τιμή του, ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)\leq |z|}$ .Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς,

${\displaystyle \lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert ^{2}\leq \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2\lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}=(\lVert \mathbf {x} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert )^{2}.}$

Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη, καθώς είναι μη-αρνητικά, λαμβάνουμε

${\displaystyle \lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert \leq \lVert \mathbf {x} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert .}$

Ειδικές περιπτώσεις

Ευκλείδειος χώρος

Για το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο

${\displaystyle \textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i},}$

η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ και ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ισχύει ότι

${\displaystyle (x_{1}y_{1}+\ldots +x_{n}y_{n})^{2}\leq (x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\ldots +y_{n}^{2}).}$

Ανισότητα με ολοκληρώματα

Για το εσωτερικό γινόμενο δύο συναρτήσεων ${\displaystyle f,g}$ που είναι ολοκληρώσιμες στο ${\displaystyle [a,b]}$ που ορίζεται ως

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\ dx,}$

η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι^{[8]:Ανισότητα (C), σελ. 4[7]: 91}

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\ dx\leq \left(\int _{a}^{b}f^{2}(x)\ dx\right)\cdot \left(\int _{a}^{b}g^{2}(x)\ dx\right).}$

Η ανισότητα αυτή αναφέρεται ως ανισότητα Μπουνιακοφκι-Σβαρτς.

Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου

Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου που λέει ότι για κάθε ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}},}$

μπορεί να αποδειχθεί με την χρήση της ανισότητας Κωσύ-Σβρατς.^{[9]:Θεώρημα 17, σελ.457-459[1]: 19-24}

Θεωρία πιθανοτήτων

Στην θεωρία πιθανοτήτων, για δύο τυχαίες μεταβλητές ${\displaystyle X,Y}$ , η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι^{[10]:187-188[11]:242[12]:64-65}

${\displaystyle (\operatorname {E} (XY))^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\cdot \operatorname {E} (Y^{2}),}$

με την ισότητα να ισχύει αν ${\displaystyle \Pr(aX=bY)=1}$ για κάποια ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ .

Εφαρμόζοντας την ανισότητα αυτή στις τυχαίες μεταβλητές ${\displaystyle X'=X-\operatorname {E} (X)}$ και ${\displaystyle Y'=Y-\operatorname {E} (Y)}$ , λαμβάνουμε ότι ο συντελεστής συσχέτισης ικανοποιεί^[13]

${\displaystyle -1\leq \rho (X,Y)\leq 1,}$

καθώς

${\displaystyle \rho (X,Y)={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\operatorname {Var} (X)\cdot \operatorname {Var} (Y)}}={\frac {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))(Y-\operatorname {E} (Y)))}{\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})\cdot \operatorname {E} ((Y-\operatorname {E} (Y))^{2})}}={\frac {\operatorname {E} (X'Y')}{\operatorname {E} ((X')^{2})\cdot \operatorname {E} ((Y')^{2})}}.}$

Γεωμετρία

Στον Ευκλείδειο χώρο ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , για δύο διανύσματα ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in \mathbb {R} ^{2}}$ και ${\displaystyle \theta }$ την γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων, ισχύει ότι

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} _{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} _{2}\rVert }}}$ .

Σε ${\displaystyle n\geq 3}$ η γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ορίζεται από τον παραπάνω τύπο. Δηλαδή η γωνία ${\displaystyle \theta }$ μεταξύ του ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ και ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ ορίζεται ως^{[2]: 28 [3]: 157}

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} _{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} _{2}\rVert }}\right)}$ .

Για να έχει νόημα αυτός ο ορισμός, πρέπει

${\displaystyle {\frac {\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} _{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} _{2}\rVert }}\in [-1,1],}$

το οποίο προκύπτει από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς.

Η ανισότητα για το ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ και το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο εμφανίζεται σε εργασία του Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ.^{[9]: Θεώρημα 16, σ. 455} Η ανισότητα για τα ολοκληρώματα εμφανίζεται με την μοντέρνα της μορφή σε εργασία του Μπουνιακόφσκι.^{[8]: Ανισότητα (C), σελ. 4} Η ανισότητα για δύο ολοκληρώματα εμφανίζεται σε εργασία του Χέρμαν Σβαρτς και κάνει χρήση της απόδειξης που γενικεύεται για κάθε πραγματικό διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο.^[14] Διάφορες εργασίες κοιτάνε την ιστορία αυτής της ανισότητας και μελετούν τις γενικεύσεις της.^{[7]: Κεφάλαιο 4 [15][16]}