Η απόλυτη τιμή ή το απόλυτο ενός πραγματικού αριθμού είναι η τιμή του αριθμού χωρίς πρόσημο και δείχνει την απόσταση του αριθμού από το μηδέν ή το κέντρο των αξόνων (μιγαδικοί). Η έννοια της απόλυτης τιμής μπορεί να βρεθεί και σε άλλες μαθηματικές δομές όπως στους δακτύλιους ή στους μιγαδικούς αριθμούς.
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού μπορεί να θεωρηθεί η απόστασή του από το 0.
Η έννοια "module" ως μονάδα μέτρησης στη γαλλική γλώσσα, αποδίδεται στον Jean-Robert Argand κυρίως για τους μιγαδικούς αριθμούς[1][2][3]. Η εισαγωγή του συμβολισμού |α| αποδίδεται στον Karl Weierstrass ο οποίος την πρωτοχρησιμοποίησε το 1841[4]. Άλλος, γνωστός κυρίως στην πληροφορική, συμβολισμός της απόλυτης τιμής ενός αριθμού a είναι ο abs(a).
Ορισμοί και ιδιότητες
Πραγματικοί αριθμοί
Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η απόλυτη τιμή κάθε πραγματικού αριθμού α ή το απόλυτο α (το οποίο συμβολίζεται ως |α| δηλαδή ο αριθμός ανάμεσα σε δύο κατακόρυφες γραμμές) ορίζεται με τη συνάρτηση:
Καθώς η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ισχύει επίσης και το:
Επίσης ισχύει:
Απόσταση δύο σημείων
Γεωμετρική αναπαράσταση απόστασης δύο σημείων.
Αν πάρουμε δύο αριθμούς τους η απόσταση μεταξύ τους είναι . Το μέσο του τμήματος που ενώνει τους είναι το σημείο το οποίο απέχει την ίδια απόσταση από τα δύο σημεία : και τότε αν . Το σημείο στην μέση ορίζεται ως και αντιστοιχεί στο κέντρο του διαστήματος . Ο αριθμός λέγεται ακτίνα του διαστήματος .
Με βάση αυτά έχω: που γράφεται ως η απόσταση των δύο σημείων δηλαδή άρα [5].
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού z είναι η απόσταση r του z από το κέντρο των συντεταγμένων.
Μιγαδικοί αριθμοί
Δεδομένου ότι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών δεν είναι διατεταγμένο, ο ορισμός, μέσω συνάρτησης, για τους πραγματικούς αριθμούς δεν μπορεί άμεσα να γενικευθεί στους μιγαδικούς αριθμούς.
Καθώς όμως η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν , σύμφωνα με την πιο πάνω εξίσωση (1), μπορούμε να ορίσουμε την απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού
