Intervalo estas la subaro de aro kun parta ordo entenanta ĉiujn elementojn inter ĝiaj komenco kaj fino, kiuj estas du (antaŭelektitaj) elementoj de la origina aro.
Formalaj difinoj Estu ( X , ≼ ) {\displaystyle (X,\preccurlyeq )} aro kun parta ordo, kaj − ∞ , ∞ {\displaystyle -\infty ,\infty } estu du elementoj de X {\displaystyle X} . Ekstendu la ordon ≼ {\displaystyle \preccurlyeq } ĝis X ∪ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle X\cup \{-\infty ,\infty \}} tiel, ke la elemento ∞ {\displaystyle \infty } estu pli granda ol ĉiuj elementoj de la aro X {\displaystyle X} kaj ke la elemento − ∞ {\displaystyle -\infty } estu malplej granda ol ĉiaj elementoj de la aro X {\displaystyle X} .
Por x , y ∈ X ∪ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle x,y\in X\cup \{-\infty ,\infty \}} tiel, ke x ≺ y {\displaystyle x\prec y} oni difinas sekvajn aroj, kiuj nomas intervalo , kiuj estas difinata per x , y {\displaystyle x,y} :
( x , y ) =: { z ∈ X : x ≺ z ≺ y } {\displaystyle (x,y)=:\{z\in X:x\prec z\prec y\}} – malfermita intervalo (duflanke malfermita intervalo), [ x , y ) =: { z ∈ X : x ≼ z ≺ y } {\displaystyle [x,y)=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\prec y\}} – maldekstre fermita intervalo (dekstre malfermita intervalo), ( x , y ] =: { z ∈ X : x ≺ z ≼ y } {\displaystyle (x,y]=:\{z\in X:x\prec z\preccurlyeq y\}} – dekstre fermita intervalo (maldekstre malfermita intervalo). [ x , y ] =: { z ∈ X : x ≼ z ≼ y } {\displaystyle [x,y]=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\preccurlyeq y\}} – fermita intervalo (duflanke fermita intervalo),Kelkaj aŭtoroj uzas formon ( x , y ) X {\displaystyle (x,y)_{X}} , [ x , y ] X {\displaystyle [x,y]_{X}} ktp. por signi, ke intervalo estas en difinita ordo. Foje anstataŭ [ x , y ] {\displaystyle [x,y]} oni skribas ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle } kaj analoge por unuflankaj intervaloj.
Rimarku , ke la nocio de intervalo ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} kaj ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle } estas malsama ol la signifo de orda duopo .
Internacia normo ISO31-11 difinas sekvajn signifojn: x , y {\displaystyle x,y} :
] x , y [ =: { z ∈ X : x ≺ z ≺ y } {\displaystyle ]x,y[=:\{z\in X:x\prec z\prec y\}} , [ x , y [ =: { z ∈ X : x ≼ z ≺ y } {\displaystyle [x,y[=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\prec y\}} , [ x , y ] =: { z ∈ X : x ≼ z ≼ y } {\displaystyle [x,y]=:\{z\in X:x\preccurlyeq z\preccurlyeq y\}} , ] x , y ] =: { z ∈ X : x ≺ z ≼ y } {\displaystyle ]x,y]=:\{z\in X:x\prec z\preccurlyeq y\}} .
Ecoj Plej ofte en intervalo estas uzata lineara ordo; en ĉi tia ordo intervaloj havas sekvajn ecojn: