Divisibilidad

El número entero ${\displaystyle a}$ es divisible entre el número entero ${\displaystyle b\neq 0}$ (o lo que es lo mismo, b divide a a) si hay un número ${\displaystyle q}$ entero, tal que ${\displaystyle a=b\cdot q}$ .

Este hecho se denomina divisibilidad del número entero ${\displaystyle a}$ por el número entero ${\displaystyle b}$ y se denota por ${\displaystyle b|a}$ ; que no es otra cosa que una afirmación entre los números enteros, que, en un contexto concreto, puede ser cierta o no.^[3]​ Por ejemplo ${\displaystyle 3|12}$ es cierta; sin embargo, ${\displaystyle 3|17}$ no es cierta. Si ${\displaystyle b}$ no es divisor de ${\displaystyle a}$ se escribe ${\displaystyle b\nmid a}$ . Nótese que ${\displaystyle 0\nmid a}$ para todo ${\displaystyle a}$ distinto de cero, pues ${\displaystyle a\neq 0=k\cdot 0}$ para todo ${\displaystyle k}$ entero.

Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a otro número también entero que es divisor de n, pero diferente de n. El divisor n es denominado impropio.

Por ejemplo, los divisores propios de 28 son 1, 2, 4, 7 y 14. Cuando se toman en cuenta enteros negativos, un divisor propio es aquel cuyo valor absoluto es menor que el número dado. En este caso, los divisores propios serían -14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14.

Casos especiales: 1 y -1 son factores triviales de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares.

Si d es un divisor de a y el único divisor que admite d es 1 y él mismo, se llama divisor primo de a. De hecho es un número primo. El 1 es el único entero que tiene un solo divisor positivo.

Sean ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$ , es decir ${\displaystyle \ a}$ , ${\displaystyle \ b}$ y ${\displaystyle \ c}$ son números enteros. Se dan las propiedades básicas:

• Si ${\displaystyle a\neq 0}$ entonces ${\displaystyle a\mid a}$ (Propiedad reflexiva).
• si ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle b\mid a}$ entonces ${\displaystyle |a|=|b|}$ . Son iguales o bien uno es el opuesto del otro.
• Cuando ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle b\mid c}$ , entonces ${\displaystyle a\mid c}$ (Propiedad transitiva).
• Si ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle b\neq 0}$ , entonces ${\displaystyle |a|\leq |b|}$ .
• ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\mid c}$ , implica ${\displaystyle a\mid \beta b+\gamma c\ \ \forall \ \beta ,\gamma \in \mathbb {Z} }$ . Divisor de la combinación lineal.
• ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\mid c}$ , implica ${\displaystyle a\mid \theta b^{k}+\kappa c^{j}\ \ \forall \ \theta ,\kappa ,k,j\in \mathbb {Z} }$ . Divisor de la combinación lineal de potencias.^[4]​
• Si ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\mid b\pm \ c}$ , entonces ${\displaystyle a\mid c}$ .
• De ${\displaystyle a\mid b}$ y ${\displaystyle a\neq 0}$ , se deduce ${\displaystyle {\frac {b}{a}}\mid b}$ . Divisores conjugados.
• Para ${\displaystyle c\neq 0}$ , ${\displaystyle a\mid b}$ si y solo si ${\displaystyle ac\mid bc}$ .
• Si ${\displaystyle a\mid bc}$ y ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a,b)=1}$ , entonces ${\displaystyle a\mid c}$ .
• Cuando ${\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a,b)=1}$ y ${\displaystyle \ c}$ cumple que ${\displaystyle a\mid c}$ y ${\displaystyle b\mid c}$ , entonces ${\displaystyle ab\mid c}$ .
• ${\displaystyle n\mid 0}$ y ${\displaystyle 1\mid n}$ para todo ${\displaystyle \ n}$ entero ya que ${\displaystyle 0=0\cdot n}$ y ${\displaystyle n=n\cdot 1}$ .
• ${\displaystyle 1\mid \operatorname {mcd} (a,b)\mid a\mid \operatorname {mcm} (a,b)\mid 0}$ .
• abcd es divisible entre n-1 si y solo si a+b+c+d es múltiplo de (n-1), siempre que abcd esté escrito en la base n, (n≥ 3 ).^[5]​
• Si mcd(a,b) = 1 no cabe a^k = b^h para cualesquiera h, k números enteros positivos; potencias de coprimos no son iguales en ningún caso.^[6]​
• En cualquier sistema de numeración, para chequear si n es múltiplo de h, divisor de la base, basta analizar la última cifra de n. Así, en la numeración decimal, para saber si n es múltiplo de 5, basta ver si la última cifra es 5 o 0. En la base 12, para saber si n es divisible entre 6, basta ver si termina en 6 o 0. En el sistema hexadecimal, para chequear si n es múltiplo de 4 basta ver que termina en uno de estos dígitos: 0, 4, 8.

Número de divisores

Si la factorización en números primos de n viene dada por

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

entonces el número de divisores positivos de n es

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

y cada uno de los divisores tiene la forma

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

donde ${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$ para cada ${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$ ^[7]​

Los siguientes criterios permiten averiguar si un número es divisible entre otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar la división.^{[nota 1]}​^{[nota 2]}​^{[nota 3]}​^{[nota 4]}​^{[nota 5]}​^{[nota 6]}​

Observación

Todos los criterios señalados funcionan si el número está escrito en el sistema de numeración decimal. En otra base no siempre ocurre así. Pues 102₇, escrito en base 7, termina en cifra par, pero no es divisible entre 2. En este caso se suman las cifras 1+2=3; 3=1 (Mód 2), luego 102₇ es impar (en decimal es 7²+2=51).

La divisibilidad es posible tratar dentro de las propiedades aritméticas de los

• Enteros gaussianos^[9]​
• Enteros algebraicos^[10]​
• Polinomios en una indeterminada con coeficientes enteros
• Números enteros pares
• Números de Fibonacci
• Anillos cuadráticos^[11]​

• Tabla de divisores
• Máximo común divisor
• Conmensurabilidad
• Divisor unitario

Bibliografía

• Aritmética elemental de Enzo R. Gentile (1985) OEA.
• Teoría de los números de Burton W. Jones.
• Fundamentos de la teoría de números de Iván Vinográdov
• Introducción a la teoría de los números de Niven y Zuckermann
• Aritmética [I] de L.Galdós (2002), Cultural S.A. Madrid.