வகுஎண்

பொதுவாக வகுஎண் என்பது இருவிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

• ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle n}$ ஆகிய இரு முழுஎண்களுக்கு,

${\displaystyle mk=n}$ .^[1] என்றவாறு ${\displaystyle k}$ என்ற முழுஎண் இருக்குமானால்:

${\displaystyle m}$ ஆனது ${\displaystyle n}$ ஐ வகுக்கும் என்றும்;

${\displaystyle n}$ இன் வகுஎண் ${\displaystyle m}$ என்றும்;

${\displaystyle n}$ ஆனது ${\displaystyle m}$ இன் மடங்கு என்றும் கூறப்படும்.

இக்கூற்றின் குறியீடு:

${\displaystyle m\mid n,}$

இந்த வரையறையின்படி ${\displaystyle 0\mid 0}$ என்பது உண்மையாகும்.

• மேற்காணும் வரையறையில், ${\displaystyle m\neq 0}$ .^[2] என்ற கட்டுப்பாட்டைச் சேர்த்தால் ${\displaystyle 0\mid 0}$ என்பது உண்மையாகாது.

• ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண்கள் மிகைமுழுஎண்களாகவோ அல்லது குறை முழுஎண்களாகவோ இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக வகுஎண்கள் என்னும்போது மிகைவகுஎண்கள் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு:

வகுஎண்களின் வரையறைப்படி, 1, 2, 4, −1, −2, −4 ஆகிய ஆறு எண்களுமே 4 இன் வகுஎண்கள் ஆகும். ஆனால் 4 இன் வகுஎண்களென 1, 2, 4 ஆகிய மிகை வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகின்றன.

• 1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களையும் வகுக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்களாகும்.
• ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.^[3]
• ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தினை வகுக்கும். அதாவது ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தின் வகுஎண்ணாகும்.^[3]
• 1, −1, n , −n ஆகியவை n இன் ’மிகஎளிய வகுஎண்கள்’ அல்லது ”வெளிப்படையான வகுத்திகள்” (trivial divisors) என அழைக்கப்படும்.
• ஒரு பூச்சியமற்ற முழுஎண்ணுக்குக் குறைந்தபட்சம் வெளிப்படையெற்ற, (அ-து ஒன்றையும் அதே எண்ணும் அல்லாத) ஒரு வகுஎண்ணாவது இருக்குமானல் அந்த பூச்சியமற்ற முழுஎண் பகு எண் எனப்படும்.
• எண் 2 ஆல் வகுபடும் முழுஎண்கள் இரட்டை எண்கள் எனவும் 2 ஆல் வகுபடாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்களெனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

• ${\displaystyle 7\times 6=42}$ என்பதால் 42 இன் வகுஎண் 7. அதாவது, ${\displaystyle 7\mid 42}$ .

42 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் அல்லது 42 ஆனது 7 இன் மடங்கு அல்லது 42 இன் காரணி 7 என்றும் கூறலாம்.

• எண் 6 இன் மிகஎளியதற்ற வகுஎண்கள்: 2, −2, 3, −3.
• 42 இன் நேர் வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• ${\displaystyle 5\times 0=0}$ என்பதால் ${\displaystyle 5\mid 0}$ .
• எண் 60 இன் நேர் வகுஎண்களின் கணம்:

${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}}$

சில அடிப்படை விதிகள்

• ${\displaystyle a\mid b}$ மற்றும் ${\displaystyle b\mid c}$ எனில், ${\displaystyle a\mid c}$ , அதாவது வகுபடும்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவாகும் (transitive relation).
• ${\displaystyle a\mid b}$ மற்றும் ${\displaystyle b\mid a}$ எனில், ${\displaystyle a=b}$ அல்லது ${\displaystyle a=-b}$ .
• ${\displaystyle a\mid b}$ மற்றும் ${\displaystyle a\mid c}$ எனில் ${\displaystyle a\mid (b+c)}$ மற்றும் ${\displaystyle a\mid (b-c)}$ .^[4]

எனினும் ${\displaystyle a\mid b}$ மற்றும் ${\displaystyle c\mid b}$ எனில், ${\displaystyle (a+c)\mid b}$ என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகாது.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle 2\mid 6}$ and ${\displaystyle 3\mid 6}$ ஆனால் 5 ஆனது 6ஐ வகுப்பதில்லை.

• ${\displaystyle a\mid bc}$ மற்றும் மீபொவ${\displaystyle (a,b)=1}$ எனில், ${\displaystyle a\mid c}$ . இது ’யூக்ளிடின் முற்கோள்’ (Euclid's lemma) என அழைக்கப்படுகிறது.
• ${\displaystyle p}$ ஒரு பகா எண் மற்றும் ${\displaystyle p\mid ab}$ எனில், ${\displaystyle p\mid a}$ அல்லது ${\displaystyle p\mid b}$ .

தகு வகுஎண்கள்

• ${\displaystyle n}$ இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது ${\displaystyle n}$ அல்லாத அதன் ஒரு மிகைவகுஎண் ஆகும். ${\displaystyle n}$ ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண் ${\displaystyle n}$ இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’ (aliquant part) எனப்படும்.
• ${\displaystyle n>1}$ மற்றும் ${\displaystyle n}$ இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில், ${\displaystyle n}$ ஒரு பகாஎண்ணாகும். .

அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே எண்)

வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை

• ${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$ ஆனது ${\displaystyle n}$ இன் பகாக் காரணியாக்கம்

எனில்,

${\displaystyle n}$ இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை (${\displaystyle d(n)}$ ):

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

• ஒவ்வொரு இயல் எண் ${\displaystyle n}$ க்கும், ${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}}$ .
• ${\displaystyle n}$ இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும் . அதாவது ${\displaystyle m}$ மற்றும் ${\displaystyle n}$ இரண்டும் சார்பகா எண்கள் எனில்:

${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n)}$ .

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$ ; (42 இன் எட்டு வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42)

எனினும் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு கிடையாது. அதாவது ${\displaystyle m}$ மற்றும் ${\displaystyle n}$ ஆகிய இரு எண்களுக்கிடையே ஒரு பொது வகுஎண் இருந்தால் ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n)}$ என்பது உண்மையாகாது.

• ${\displaystyle n}$ இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதலுமொரு பெருக்கல் சார்பாகும். இதன் குறியீடு: ${\displaystyle \sigma (n)}$

எடுத்துக்காட்டு:${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$

• Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: An Introduction (3rd ). New York: Wiley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-471-51001-7. http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html. 
• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-20860-7; section B.
• Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
• Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
• Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9