Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:
Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable dependiente de g.
Se iguala la derivada parcial recién calculada de con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.
Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general .
Factor integrante
Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial llamada factor integrante, tal que:
sea exacta.
Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero solo para algunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:
Factor integrante sólo en función de x.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:
Cabe decir que para que exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro tiene que ser función únicamente de x.(Aclarando que y equivalen a las parciales de estas; y respectivamente).
Ejemplo:, entonces y por lo tanto por lo que tenemos la ecuación exacta:
La solución general viene dada implícitamente por:
Factor integrante sólo en función de y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:
Ejemplo:, entonces y por lo tanto por lo que tenemos la ecuación exacta:
La solución general viene dada implícitamente por:
Factor integrante sólo en función de x+y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:
Con
Ejemplo:, entonces y por lo tanto por lo que tenemos la ecuación exacta:
La solución general viene dada implícitamente por:
Factor integrante sólo en función de x·y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:
Con
Donde M·x
Cabe mencionar que:
Ejemplo:, entonces y por lo tanto por lo que tenemos la ecuación exacta:
La solución general viene dada implícitamente por:
Factor integrante sólo en función de
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante de la forma , entonces se puede hallar su expresión mediante la siguiente fórmula:
Con
Ejemplo:, entonces y por lo tanto por lo que tenemos la ecuación exacta:
La solución general viene dada implícitamente por:
Zill, Dennis G. (2006): Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Octava edición. Thomson Learning Iberoamericana. México D.F., México. ISBN 970-686-487-3.
Olivos, Elena; Mansilla, Angélica (2005): Ecuaciones Diferenciales, 100 Problemas Resueltos. Primera Edición. Editorial Universidad de La Frontera. Temuco, Chile.