جذر میانگین مربعات

در ریاضیات، جذر میانگین مربعات (به انگلیسی: Root mean square) (اختصاری rms) که با نام مقدار آرام‌اس (به انگلیسی: rms value) و مقدار مؤثر (به انگلیسی: Effective value) نیز شناخته‌می‌شود،^[۱] معیاری آماری از اندازه کمیت متغیر است. آرام‌اس همچنین به‌عنوان میانگین درجه دوم (به انگلیسی: Quadratic mean) (که با $M_{2}$ نشان‌داده می‌شود)^[۲]^[۳] شناخته می‌شود و یک مورد خاص از میانگین تعمیم‌یافته‌است. آرام‌اس یک تابع پیوسته متغیر (که به $f_{\mathrm {RMS} }$ نشان داده می‌شود) را می‌توان برحسب جمله‌های انتگرالی از مربع‌های مقادیر لحظه‌ای درطول یک چرخه تعریف‌کرد.

تعریف

جذر مربع مجموعه‌ای از اعداد به صورت زیر تعریف می‌شود:

x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}} \over n}}.

f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}},

جذر میانگین مربع برای تابعی روی تمام زمان‌ها عبارت است از:

f_{\mathrm {rms} }=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}.

در شکل‌موج‌های رایج

شکل‌موج	متغیرها و عملگرها	آرام‌اس
دی‌سی	$y=A_{0}\,$	$A_{0}\,$
موج سینوسی	$y=A_{1}\sin(2\pi ft)\,$	${\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}$
موج مربعی	$y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}$	$A_{1}\,$
موج مربعی با دی‌سی-جابه‌جاشده	$y=A_{0}+{\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}$	${\sqrt {A_{0}^{2}+A_{1}^{2}}}\,$
موج سینوسی اصلاح شده	$y={\begin{cases}0&\operatorname {frac} (ft)<0.25\\A_{1}&0.25<\operatorname {frac} (ft)<0.5\\0&0.5<\operatorname {frac} (ft)<0.75\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.75\end{cases}}$	${\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}$
موج مثلثی	$y=\left\|2A_{1}\operatorname {frac} (ft)-A_{1}\right\|$	$A_{1} \over {\sqrt {3}}$
موج دندانه اره‌ای	$y=2A_{1}\operatorname {frac} (ft)-A_{1}\,$	$A_{1} \over {\sqrt {3}}$
موج پالسی	$y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<D\\0&\operatorname {frac} (ft)>D\end{cases}}$	$A_{1}{\sqrt {D}}$
ولتاژ فاز-به-فاز	$y=A_{1}\sin(t)-A_{1}\sin \left(t-{\frac {2\pi }{3}}\right)\,$	$A_{1}{\sqrt {\frac {3}{2}}}$
دراینجا: y جابجایی است، t زمان است، f فرکانس است، A_i دامنه (مقدار قله) است، D دوره کاری یا نسبت تناوب زمانی (یک تقسیم بر اف) است که در بالا رها است، frac(r) قسمت کسری r است.

منابع

[۱]

[۲]

[۳]