عدد ابرحقیقی

سیستم اعداد ابرحقیقی (نماد: R* و به انگلیسی: Hyperreal number) یک راه رفتار با کمیت‌های بی‌نهایت بزرگ و کوچک است. اعداد ابرحقیقی یا حقیقی‌های غیر استاندارد یک توسعه اعداد حقیقی هستند که شامل اعدادی بزرگتر از هرچیز به قالب

${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$ (برای هر تعداد متناهی از جملات) می‌باشند.

عدد ابرحقیقی ${\displaystyle x}$ متناهی است، اگر و تنها اگر به ازای هر ${\displaystyle n}$ ، ${\displaystyle |x|<n}$. همچنین، ${\displaystyle x}$ بینهایت کوچک است، اگر و تنها اگر به ازای هر ${\displaystyle n}$ ، ${\displaystyle |x|<1/n}$. قوانین منطق مرتبه اول در مجموعه اعداد حقیقی ${\displaystyle \mathbb {R} }$ برای ${\displaystyle \mathbb {R*} }$ نیز صادق است. به عنوان مثال، خاصیت جابجایی جمع ${\displaystyle x+y=y+x}$ برای مجموعه اعداد ابرحقیقی نیز برقرار می باشد.

چنین اعدادی بی‌نهایت و وارون ضربی آنها بی‌نهایت کوچک هستند. اصطلاح «ابرحقیقی» توسط ادوین هیویت در سال ۱۹۴۸ معرفی شد.^[۱]