مشتق لی

مشتق لی یک تابع

چند تعریف برای مشتق لی یک تابع وجود دارد.

• می‌توان مشتق لی رابراساس تعریف میدان‌های برداری به عنوان عملگرهای دیفرانسیلی مرتبه اول تعریف کرد. با فرض تابع ƒ : M → R و یک میدان برداری ${\displaystyle X}$ تعریف شده روی M ٬ مشتق لی ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f}$ یک تابع در راستای میدان${\displaystyle X}$ با اعمال میدان به دست می‌آید.می‌توان آن را مشتق جهت‌دار ${\displaystyle f}$ در راستای ${\displaystyle X}$ پنداشت.ینابراین در یک نقطه p ∈ M داریم:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{\!X}f)(p)\triangleq X_{p}(f)\triangleq (Xf)(p)}$

براساس تعریف مشتق‌گیری ٬می‌توان این مشتق را روی M چنین نیز نوشت:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{\!X}f)(p)\triangleq \operatorname {d} f_{p}\,(X_{p})}$

با انتخاب مختصات x^a و با نوشتن :${\displaystyle X=X^{a}\partial _{a}}$ که در آن ${\displaystyle \partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$ بردارهای یکه برای دسته(باندل) مماس‌ها هستند٬ خواهیم داشت:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{\!X}f)(p)=X^{a}(p)(\partial _{a}f)(p)}$ .

مشتق لی یک میدان برداری

ابتدا یک براکت لی از دو میدان برداری X و Y‌تعریف می‌کنیم. یک تعریف عبارت است از:

تعریف‌های دیگر چنین‌اند: ( ${\displaystyle \Phi _{t}^{X}}$ تبدیل شار(فلو)‌و d عملگر نگاشت مماس مشتق است)