کاربر:ASHAJRJ230/صفحه تمرین

حجم:به مقدار فضایی که یک جسم اشغال می‌کند حجم می‌گویند. واحد حجم برابر با واحد مکعب است.حَجم کمیتی از فضای سه‌بعدی است که با یک مرز مشخص محدود شده‌است برای نمونه فضای اشغالی یک ماده (جامد، گاز، مایع، پلاسما) یا شکل آن است.حجم، یک یکای فرعی اس‌آی است که واحد آن، متر به توان ۳ (متر مکعب) می‌باشد. میزان حجم یک ظرف، برابر است با حجم سیالی که آن را پر می‌کند. برای محاسبه حجم، شکل‌های ۳ بعدی خاص، روابط مشخصی وجود دارد که برای شکل‌های ساده دارای نظم هندسی، روابط ساده هستند. برای شکل‌های پیچیده نیز که رابطه‌ی ساده‌ای برای محاسبه حجم، وجود ندارد از روش‌های انتگرالی می‌توان حجم را به‌دست آورد. حجم شکل‌های یک‌بعدی، مانند خط یا دوبعدی، مانند صفحه، صفر می‌باشد.

مساحت:نوعی کمیت است که مقدار سطح رویه اجسام سه بعدی و مقدار درونی اجسام دوبعدی را محاسبه می‌کند واحد مساحت برابر با واحدمربع است.مساحت کمیتی است که وسعت یک ناحیه را روی صفحه یا روی یک سطح منحنی بیان می کند. مساحت ناحیه صفحه یا مساحت صفحه به مساحت یک لایه یا لایه مسطح اشاره دارد ، در حالی که مساحت سطح به مساحت یک سطح باز یا مرز یک جسم سه بعدی اشاره دارد . مساحت را می توان به عنوان مقدار ماده ای با ضخامت معین که برای شکل دادن به مدلی از شکل لازم است یا مقدار رنگ لازم برای پوشاندن سطح با یک لایه درک کرد. این آنالوگ دو بعدی طول یک منحنی (یک مفهوم یک بعدی) یا حجم یک جامد (یک مفهوم سه بعدی) است.

حجم های غیر هندسی=حجم های غیر هندسی به حجم های پیچیده گفته می‌شود که حجم های آن سخت بدست آید. اما مساحت آنها را می‌توان بدست آورد اما کمی پیچیده است.برای بدست آوردن حجم های غیرهندسی ابتدا در یک لیوان بشر،آب می‌ریزیم.بعد که پر از آب کردیم و مقدار لیتر را اندازه گیری کردیم؛جسم غیر هندسی را در آب می‌اندازیم با این روش آب بالا می‌آید، بعد مقدار آبی که با حجم غیر هندسی بالا آمده است را با مقدار آبی که قبل تعیین شد کم می‌کنیم و بعد حجم آن را اندازه گیری و می‌نویسیم.

حجم های هندسی=حجم های هندسی به اجسام هایی گفته می‌شود که برای آنها می‌توانیم برای آنهافرمول سطح و حجم بنویسیم.حجم آن اجسام هندسی را می‌توانیم به روش الگویابی با استفاده از تجزیه و تحلیل و اندازه گیری حجم اجزای متناظر و جمع بندی و فرمول بندی آن می‌توان فرمول حجم آن را بدست آورد.برای پیدا کردن مساحت آن ابتدا با تجزیه و گسترده کشیدن شکل به روش پیوسته و گسسته مساحت اجزای آن را حساب می‌کنیم و با آنالیز^[۷] فرمول آن را می‌نویسیم

مثال= کره،هرم،منشور،چندوجهی،استوانه،مخروط و مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح،هشت وجهی،جنبره^[۸]

نکته۱:مکعب^[۹] یک چندوجهی(شش وجهی) منتظم دارای وجه مربع است که دارای دو قاعده مربع است پس مکعب یک حجم چند وجهی- منشوری منتظم است.

نکته۲:چهاروجهی^[۱۰] یک هرم و چندوجهی با قاعده و وجه های مثلث متساوی الاضلاع است. پس چهاروجهی یک حجم هرمی-چندوجهی و نوعی جسم افلاطونی به حساب می آید

نکته۳:متوازی السطوح^[۱۱] یک حجم منشوری دارای وجه جانبی و دوقاعده است و یک شش وجهی با وجه های متوازی الاضلاع است.پس متوازی السطوح یک حجم منشوری-چندوجهی است.

تعریف منشور:منشور حجمی است که دارای دو قاعده وجه جانبی،راس و یال است .وجه های منشور مستطیلی است و تعداد وجه های آن با تعداد ضلع قاعده اش برابر است،تعداد راس های آن دو برابر وجه و تعداد یال سه برابر وجه منشور است.وجه های هرم با فرمولn+2بدست می آیو چون تعداد وجه هاب منشور همیشه دو تا بیشتر از وجه جانبی است چون دو وجه دیگر قاعده منشور هستند.منشور درهندسه،یک چندوجهی است که با یک قاعدهٔ n-ضلعی، انتقال‌یافتهٔ چندضلعی قاعده (درصفحه‌ای دیگر) و n وجه دیگر که لزوماً همه متوازی‌الأضلاع بوده و رأس‌های متناظر دو n-ضلعی را به هم متصل می‌کنند. همهٔ سطح مقطع‌های موازی با قاعده، یکسان هستند. منشورها با توجه به تعداد اضلاع قاعده‌شان نام‌گذاری می‌شوند؛ بنابراین به‌عنوان مثال، یک منشور با قاعدهٔ پنج‌ضلعی، منشور پنج‌ضلعی نامیده می‌شود.در تعریف منشور به هرم این است که منشور همان هرم است ولی راس آن در بی نهایت قرار دارد

تعریف هرم:هرم حجمی است که وجه های آن در یک نقطه قطع میشود و وجه های آن مثلثی شکل است که دارای یک قاعده است.وجه های هرم با فرمولn+1بدست می آید چودن هرم دارای یک راسی اضافه است.تعداد یال های هرم دوبرابر تعداد ضلع قاعده است.درواقع هرم شکلی سه‌بعدی است که از اتصال نقطه‌ای در فضا به تمام نقاط شکلی بسته در صفحه به وجود می‌آید. به آن نقطه، رأس هرم و به آن شکل مسطح، قاعده هرم گفته می‌شود. قاعده هرم، چندضلعی دلخواه است و سایر وجه‌ها مثلث‌هایی هم راس هستند که در رأس به یکدیگر متصل می‌شوند. خط قائمی که رأس را به قاعده متصل می‌کند، ارتفاع هرم نامیده می‌شود. از معروف ترین سازه های جهان به شکل هرم ،می توان به اهرام ثلاثه مصر اشاره کرد.

تعریف کره:کره یک جسم هندسی کاملاً گرد در فضای سه بعدی است. برای نمونه توپ یک کره است. کره مانند دایره که در دو بعد است، در فضای سه بعدی یک کاملاً متقارن در گرداگرد یک نقطه‌است. تمام نقاطی که بر سطح کره جای دارند در فاصلهٔ یکسان از مرکز کره قرار دارند. فاصلهٔ این نقطه‌ها از مرکز کره، شعاع کره نام دارد و با حرف r نمایش داده می‌شود. بلندترین فاصله از دو سوی کره (که از درون کره عبور کند) قطر کره نام دارد. قطر کره از مرکز آن نیز می‌گذرد و در نه نتیجه اندازهٔ آن دو برابر شعاع است. ،کره مجموعه نقاطی از فضا است که دارای شعاع و قاعده دایره ای شکل است که یک چند وجهی منتظم است.کره حاصل دوران یک نیم دایره و دایره حول قطر است که در دایره به اندازه ۱۸۰درجه می چرخد و در نیم دایره به اندازه۳۶۰درجه میچرخد.وجه های کره بر اساس تقسیمی از مساحت آن که۳۶۰ درجه است به چندین درجه تقسیم می‌کنیم.

تعریف استوانه:استوانه یک حجم منشوری است که قاعده آن به صورت دایره ای شکل است.استوانه در هندسه یک پایه منحنی فضایی است که دور سطح آن را مجموعه نقاطی تشکیل داده است.یال های استوانه همان نامشخص است چون قاعده آن به صورت دایره ای است،می توان گفت که وجه جانبی،وجه،راس،یال استوانه به ترتیب3n,2n,n+2,nاست.استوانه درهندسه دیفرانسیل به صورت یک سطح کشیده است که که مولد آن یک دسته خط موازی است.تعریف استوانه در مخروط این است که استوانه همان مخروط است ولی راس آن در بی نهایت قرار دارد.استوانه حاصل دوران یک مستطیل حول یکی از اضلاع آن(طول،عرض) به اندازه۳۶۰درجه می باشد.

تعریف مخروط:مخروط یک حجم هرمی می باشد که قاعده آن به صورت دایره ای است،یک مخروط یک شکل هندسی سه‌بُعدی است که از پایهٔ تختش (سطح مقطع مخروط) به آرامی یا به سرعت (به سطح قاعده و ارتفاع بستگی دارد) تا راس باریک می‌شود. به‌طور جزئی‌تر شکلی جامد است که به یک صفحهٔ پایه (سطح مقطع مخروط)، محدود می‌شود و سطح جانبی آن نیز مکان هندسی خطوط راستی است که نوک مخروط را به نقاط پیرامون پایه (سطح مقطع) پیوند می‌زنند. واژهٔ مخروط گاهی به رویهٔ این جسم توپر گفته می‌شود و گاه تنها به رویهٔ پهلویی آن است.مخروط‌ها می‌توانند به صورت قائم یا اریب باشند. لازم است ذکر شود که حجم یک مخروط اریب با مساحت سطح مقطع معین و ارتفاع مشخص، با حجم یک مخروط قائم با همان مساحت و ارتفاع معین، برابر است.مخروط حاصل دوران یک مثلث قائم الزاویه حول یکی از اضلاع مجاورش به اندازه۳۶۰درجه است.

تعریف چندوجهی:چندوجهی یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.کره نیز از خانواده چندوجهی ها نیز به حساب می آید.مکعب،چهاروجهی،متوازی السطوح از احجام های هندسی هستند که چندوجهی نیز به حساب می آید.

حجم مکعب:${\displaystyle V=a^{3}\;}$

حجم مکعب:${\displaystyle V=a^{3}\;}$

مساحت مکعب:${\displaystyle V=6a^{2}\;}$

حجم چهار وجهی:${\textstyle V={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}\,}$

مساحت چهاروجهی:${\displaystyle V={{\sqrt {3}}a^{2}\,}}$

حجم هشت وجهی منتظم:

${\displaystyle V={\frac {2}{3}}a^{3}}$

مساحت هشت وجهی منتظم:

${\displaystyle V={2a^{2}{\sqrt {3}}\,}}$

حجم مکعب مستطیل: ${\textstyle {V=abc}}$

مساحت مکعب مستطیل: ${\textstyle A=2ab+2ac+2cb}$

حجم منشور: ${\displaystyle V=Sh}$

حجم منشور با قاعده چندضلعی: ${\displaystyle V={\frac {n}{4}}ha^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}}$

مساحت منشور با قاعده چندضلعی:${\displaystyle A={\frac {n}{2}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}+nah}$

حجم استوانه: ${\displaystyle {\displaystyle V=\pi r^{2}h}}$

مساحت منشور: ${\displaystyle A=\ Ph+2S}$

مساحت استوانه: ${\displaystyle A=2\pi r(r+h)\,\!}$

حجم هرم: ${\displaystyle V={\displaystyle {\frac {1}{3}}Sh}}$

حجم مخروط: ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$

مساحت هرم: ${\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}\,\!}$

مساحت مخروط: ${\displaystyle \pi r(r+l)\,\!}$

حجم کره: ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

مساحت کره: ${\displaystyle 4\pi r^{2}\ {\text{or}}\ \pi d^{2}\,\!}$

حجم کره بیضی گون با قاعده دایره(کره گون): ${\displaystyle {4 \over 3}\pi r^{2}h}$

حجم کره بیضی گون مختلف: ${\displaystyle {4 \over 3}\pi abc}$

مساحت کره گون=${\displaystyle {A=4\pi ab}}$

مساحت بیضی گون=:${\displaystyle A=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin e\right)}$

حجم هرم ناقص:${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}h\left(a^{2}+ab+b^{2}\right).}$

مساحت هرم ناقص:${\displaystyle A={\frac {n}{4}}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {\left(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right)^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}}\right]}$

حجم مخروط ناقص:${\displaystyle {\displaystyle V={\tfrac {\pi }{3}}h\left(r^{2}+rr'+r'^{2}\right).}}$

مساحت مخروط ناقص:${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total surface area}}&=\\&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}}$ حجم چنبره:${\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right).\,}$

مساحت چنبره:${\displaystyle A=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,}$

حجم متوازی السطوح:${\displaystyle V=abc{\sqrt {K}}}$

مساحت متوازی السطوح:${\displaystyle 2{(ah+bh'+ch'')}}$

مساحت چندوجهی منتظم:

${\displaystyle A=n({\tfrac {1}{4}}n'a^{2}\cot {\frac {\pi }{n'}})}$

حجم جامدات چندوجهی:${\displaystyle {\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {Area} (F)\right|,}$

نسبت مساحت سطح به حجم یا نسبت سطح به حجم که با علائم مختلفی مثل sa/vol و SA:V نشان داده می‌شود؛ عبارت است از مقدار مساحت سطح در واحد حجم یک شی یا مجموعه‌ای از اشیا. در واکنش‌های شیمیایی که یک ماده جامد درگیر باشد، نسبت سطح به حجم یک عامل مهم است که نشان می‌دهد واکنش‌های شیمیایی در حال انجام است.نسبت سطح به حجم یاSA:V یک فرمولی است که از نسبت حجم به سطح کل است و مقادیر آن در احجام هندسی متفاوت است. نسبتSA:Vبه اندازه شعاع یا اندازه احجام هندسی بستگی دارد.

نسبتV/Sمکعب:${\displaystyle {\frac {a}{6}}}$

نسبتV/Sچهاروجهی:${\displaystyle {\frac {{{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}}{2a^{2}{\sqrt {3}}}}}$

نسبت V/Sمنشور:${\displaystyle {\frac {Sh}{Ph+2s}}}$

نسبتV/Sاستوانه:${\displaystyle {\frac {\pi r^{2}h}{2\pi r^{2}+2\pi rh}}}$

نسبتV/Sهرم:${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{3}}Sh}{{\frac {N}{2}}Bh+S}}}$

نسبتV/Sمخروط:${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}{\pi r^{2}+\pi rL}}}$

نسبتV/Sکره=${\displaystyle {\frac {r}{3}}}$

توپ یک شیء سه بعدی به شکل کره است (دراین مبحث بیشتر ناحیه (مساحت) روی کره مورد نظر است نه حجم داخل آن). توپ‌ها در هر چند بعد که نیاز باشد می‌توانند وجود داشته باشند و در حالت کلی توپ n بعدی نامیده می‌شوند که n تعداد ابعاد توپ است. برای یک توپ معمولی سه بعدی می‌توان SA:V را با استفاده از معادله استاندارد مساحت و حجم حساب کرد؛ که در آن مساحت ${\displaystyle S=4\pi r^{2}}$ و حجم ${\displaystyle V=(4/3)\pi r^{3}}$ است. برای توپی به شعاع واحد (r=۱) نسبت سطح به حجم برابر با ۳ می‌شود. SA:V با شعاع رابطه عکس دارد، اگر شعاع ۲ برابر شود SA:V نصف می‌شود.

استدلال بالا را می‌توان برای توپ n بعدی تعمیم داد و روابط کلی حجم و مساحت رویه را به شکل زیر نوشت:

${\displaystyle V={\frac {r^{n}\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (1+n/2)}}}$ حجم؛${\displaystyle S={\frac {nr^{n-1}\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma (1+n/2)}}}$ مساحت سطحی

نسبت ${\displaystyle {\frac {V}{S}}}$ در حالت n بعدی به ${\displaystyle nr^{-1}}$ کاهش پیدا می‌کند؛ بنابراین همان رابطهٔ خطی برای سطح و حجم در هر بعد برقرار است: دو برابر کردن شعاع همواره نسبت را نصف می‌کند.

از دوران یک مستطیل حول یکی از اضلاعش=استوانه

از دوران یک مثلث قائم الزاویه حول یکی از اضلاع مجاورش=مخروط

از دوران یک ذوزنقه قائم الزاویه حول ضلع قائم:مخروط ناقص

از دوران یک مثلث قائم الزاویه حول وتر= دو مخروط

از دوران یک دایره حول قطر به اندازه^○180=کره

از دوران یک نیم دایره حول قطر به اندازه^○360=کره

در دوران‌حجم آن‌ضلعی که حول‌شکل آن ضلع‌‌دیگر دوران می‌دهد بچرخد ارتفاع می‌شود اما آن ضلعی که چرخیده می‌شود به‌شعاع آن‌جسم تبدیل می‌شود.

ترسیم سه‌نما به ترسیمی در هندسه می‌گویند که نمای جسم سه‌بعدی را رسم می‌کند که این‌مفهوم جهات‌بالا،پایین،راست،چپ،روبه‌رو و پشت را به سه‌نمای‌ بالا،راست،روبه‌رو خلاصه می‌کند.اگر نمایی از چپ،پایین،پشت با نمای‌راست،بالا،روبه‌رو مطابقت نکرد آن را با خط‌چین مشخص می‌کنیم.ترسیم سه‌نما در معماری و ترسیم‌مهندسی به‌کار برده می‌شود.البته اجسامی مثل:(استوانه،مخروط)فقط دونمایش رسم می‌شود چون نمای روبه‌رو با نمای‌راست آنها باهم برابر است٬ولی بالای‌آنها باهم فرق‌دارد اما کره فقط یک‌نمای آن رسم می‌شود٬چون سه‌نمای آن باهم٬هم‌شکل است.

ترسیم‌گسترده به‌ترسمی گفته می‌شود که‌اجزای یک‌جسم سه‌بعدی را تجزیه می‌کند.ترسیم‌گسترده یک جسم هندسی سه‌بعدی منشور٬هرم،استوانه،چندوجهی،مخروط ساده‌است.منشور وجه های آن به همراه دو قاعده چندضلعی او کشیده میشود و هرم وجه‌های مثلث به همراه یک‌قاعده چندضلعی آن کشیده می‌شود.استوانه قسمت مستطیلی که‌دور دایره کشیده شده‌است را به‌همراه دوقاعده دایره کشیده می‌شود و در مخروط قسمت از یک دایره به‌همراه ام کشیده می‌شود و چندوجهی وجه های چندضلعی منتظم او کشیده می‌شود.اما کره به‌صورت آنالیز و تجزیه٬گسترده آن بدست می‌آید،ما کره را بدون هیچ‌کاری آن‌را به‌چهار دایره بر اساس مساحت قاعده‌دورن آن ترسیم می‌کنیم که به‌چهار دایره تقسیم می‌شود.ولی اگر کره‌را به‌چندین رویه مختصاتی تقسیم‌کردن‌مقسوم و روی هم قرار‌دهیم٬یک مستطیل به‌وجود می‌آید.

مقطع به یک‌نوع قضیه گفته می‌شود که جسم سه‌بعدی را از طریق اقفی‌٬عمودی٬صاف و مورب جسم‌را قطع می‌کند و جسم‌جدیدی را با قاعده‌جدید درست می‌کند ولی‌از حجم‌آن کم‌ می‌شود.از طریق مورب و عمودی قاعده شکل‌حاصل با قاعده‌اولیه فرق‌دارد و در صاف و افقی قاعده شکل‌حاصل با قاعده‌اولیه فرق‌ندارد.مشهورترین مقطع،مقطع‌مخروطی نام‌دارد که ازجمله مقطع‌های او دایره٬بیضی٬سهمی و هذلولی‌ است.

سطح‌مقطع یعنی مساحت‌قاعده حاصل‌از مقطع را محاسبه و آنالیز می‌کند. بیشترین سطح‌مقطع کره،مخروط،هرم وچندوجهی قاعده‌های آنها است و سطح‌مقطع در احجام منشوری با مساحت‌قاعده آنها برابر است..

نسبت سطح‌مقطع یعنی نسبت مساحت‌قاعده مقطع به مساحت‌قاعده حجم‌هندسی است.

در احجام‌منشوری نسبت سطح‌مقطع ها برابر با یک می‌شود،چون مقطع های آنها باهم هم مساحت است به‌شرط اینکه صفحه‌مقطع موازی باشد.در هرم٬مخروط و کره نسبت سطح‌مقطع‌ها باهم متفات‌است.

محاط‌کردن یعنی حجمی‌را در حجمی احاطه‌کنیم به‌شرط آنکه در تمام آن‌قسمت حجم محاطی در تمام‌قسمت حجم‌محیطی شعاع‌جسم محاطی٬با شعاع‌جسم محیطی مماس‌شود و شعاع و ارتفاع حجم محاطی٬با شعاع و ارتفاع‌حجم محیطی برابر باشد.محاط‌کردن کره در استوانه یکی از محاط‌کردن ها است.البته این‌کار برای محاسبه ‌حجم‌کره و مخروط و چندوجهی ‌استفاده‌می‌شود.

یک کره را در یک استوانه که قطر و ارتفاع آن برابر است محاط می کنیم.به طوری که شعاع کره با شعاع استوانه برابر است و قطر کره بر ارتفاع و قطر استوانه برابر است و شعاع کره نیز بر تمامی نقاط استوانه مماس است.

دراین حالت می گوییم

جسم محاطی:کره

جسم محیطی:استوانه

محاسبه حجم کره

ابتدا کره را به دو نیم کره تقسیم میکنیم. اگر نیم کره را سه بار آب کنیم و در استوانه بریزیم حجم استوانه پر می شود.پس حجم نیمکره یک سوم حجم استوانه است و حجم کره دو سوم حجم استوانه است.

حجم استوانه: ${\displaystyle 2\pi r^{3}}$

اگر نسبت حجم کره به حجم استوانه را بر حجم استوانه ضرب کنیم حجم کره بدست می آید ${\displaystyle {\frac {2}{3}}2\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

ابتدامخروط‌ را در استوانه‌ای باارتفاع‌وشعاع‌مختلف محاط‌می‌کنیم.ارتفاع‌وشعاع‌مخروط با ارتفاع‌وشعاع‌استوانه برابر است.در‌این‌نوع محاط کردن ارتفاع ‌مخروط بر قاعده استوانه مماس‌می‌گردد.

دراین حالت می‌گوییم

• جسم‌محاطی:مخروط
• جسم‌محیطی:استوانه

محاسبه حجم مخروط

اگر‌مخروط را فشرده‌کنیم وبه‌استوانه تبدیل‌کنیم٬یک‌استوانه کوچک به‌وجود می‌آید.اگر سه‌تا ازاین استوانه‌های فشرده‌که قبلامخروط بودند را در استوانه‌بزرگ جای دهیم.حجم‌استوانه کامل پر‌می‌شود.

حجم‌استوانه:${\displaystyle V=\pi r^{2}h}$

اگر نسبت‌حجم‌مخروط‌ را به‌حجم‌استوانه را در حجم‌استوانه ضرب‌کنیم،حجم مخروط بدست می‌آید

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$

در ریاضیات فضای سه بعدی فضای برداری دارای سه بعد و یک مدل هندسی از جهان فیزیکی است که در آن زندگی می‌کنیم. ابعاد سه‌گانه معمولاً به نام طول، عرض، و ارتفاع (یا عمق) شناخته می‌شوند اگر چه این نامگذاری اختیاری است.

در فیزیک دنیای سه بعدی  به همراه زمان در یک فضای چهاربعدی قرار می‌گیرد که به فضای مینکوفسکی مشهور است.

در هندسه تحلیلی هر نقطه موجود در فضای سه بعدی در دستگاه مختصات دکارتی با سه عدد ، و  مشخص می‌شود. دستگاه‌های دیگری نیز برای نمود سه نقطه در فضای سه بعدی وجود دارند که معروفترین‌ها عبارتند از دستگاه مختصات کروی و دستگاه مختصات استوانه‌ای.

در ریاضیات مختصات کروی،برای فضای سه بعدی است که در آن موقعیت یک نقطه با سه عدد مشخص می شود: فاصله شعاعی آن نقطه از یک مبدأ ثابت، زاویه قطبی آن اندازه گیری شده از یک جهت اوج ثابت ، و زاویه متعامد برآمدگی متعامد آن بر روی صفحه مرجعی که از مبدا می گذرد و متعامد به نقطه اوج است، از یک جهت مرجع ثابت در آن صفحه اندازه گیری می شود. می توان آن را نسخه سه بعدی سیستم مختصات قطبی دید .

استفاده از نمادها و ترتیب مختصات در منابع و رشته ها متفاوت است. این مقاله از کنوانسیون ISO  که اغلب در فیزیک با آن مواجه می‌شود، استفاده می‌کند :فاصله شعاعی، زاویه قطبی و زاویه ازیموت را نشان می دهد. در بسیاری از کتاب های ریاضی،یافاصله شعاعی، زاویه ازیموتال و زاویه قطبی را نشان می‌دهد و معانی θ و φ را تغییر می‌دهد . قراردادهای دیگری نیز استفاده می شود، مانند r برای شعاع از محور z ، بنابراین باید دقت زیادی برای بررسی معنای نمادها انجام شود.

طبق قراردادهای سیستم های مختصات جغرافیایی ، موقعیت ها با طول و عرض جغرافیایی و ارتفاع (ارتفاع) اندازه گیری می شوند. تعدادی سیستم مختصات آسمانی بر اساس صفحات بنیادی مختلف و با اصطلاحات مختلف برای مختصات مختلف وجود دارد. سیستم های مختصات کروی مورد استفاده در ریاضیات معمولاً به جای درجه از رادیان استفاده می کنند و زاویه آزیموتال را در خلاف جهت عقربه های ساعت از محور x به محور y اندازه می گیرند نه در جهت عقربه های ساعت از شمال (0 درجه) به شرق (90 درجه) مانند سیستم مختصات افقی . .  زاویه قطبی اغلب با زاویه جایگزین می شودزاویه ارتفاع از صفحه مرجع اندازه گیری می شود، به طوری که زاویه ارتفاع صفر در افق باشد.

سیستم مختصات کروی سیستم مختصات قطبی دو بعدی را تعمیم می دهد. همچنین می توان آن را به فضاهای با ابعاد بالاتر گسترش داد و سپس به عنوان یک سیستم مختصات ابرکره ای نامیده می شود .

یک سیستم مختصات استوانه ای یک سیستم مختصات سه بعدی است که موقعیت نقطه را با فاصله از یک محور مرجع انتخابی (محور L در تصویر مقابل) ، جهت از محور نسبت به یک جهت مرجع انتخابی (محور A) مشخص می کند. فاصله از صفحه مرجع انتخابی عمود بر محور (صفحه حاوی بخش بنفش) . بسته به اینکه کدام طرف صفحه مرجع رو به نقطه است، فاصله اخیر به عنوان یک عدد مثبت یا منفی داده می شود.

مبدأ سیستم نقطه‌ای است که هر سه مختصات را می‌توان صفر داد. این نقطه تقاطع بین صفحه مرجع و محور است. این محور را به‌طور متفاوتی محور استوانه‌ای یا طولی می‌نامند تا آن را از محور قطبی متمایز کند ، که پرتویی است که در صفحه مرجع قرار دارد و از مبدا شروع می‌شود و در جهت مرجع قرار می‌گیرد. سایر جهات عمود بر محور طولی را خطوط شعاعی می نامند .

فاصله از محور ممکن است فاصله شعاعی یا شعاع نامیده شود ، در حالی که مختصات زاویه ای گاهی اوقات به عنوان موقعیت زاویه ای یا به عنوان آزیموت نامیده می شود . شعاع و آزیموت با هم مختصات قطبی نامیده می شوند، زیرا با یک سیستم مختصات قطبی دوبعدی در صفحه عبور از نقطه، موازی با صفحه مرجع مطابقت دارند. مختصات سوم ممکن است ارتفاع یا ارتفاع (اگر صفحه مرجع افقی در نظر گرفته شود)، موقعیت طولی ،  یا موقعیت محوری نامیده می شود .

مختصات استوانه ای در ارتباط با اجسام و پدیده هایی که دارای تقارن چرخشی حول محور طولی هستند، مانند جریان آب در یک لوله مستقیم با مقطع گرد، توزیع گرما در یک استوانه فلزی ، میدان های الکترومغناطیسی تولید شده توسط جریان الکتریکی در سیم بلند و مستقیم، قرص های برافزایشی در نجوم و غیره.

آنها گاهی اوقات "مختصات قطبی استوانه ای"  و "مختصات استوانه ای قطبی"  نامیده می شوند و گاهی اوقات برای تعیین موقعیت ستارگان در یک کهکشان ("مختصات قطبی استوانه ای کهکشانی مرکزی") استفاده می شوند.

کاربرد مساحت‌و‌حجم بیشتر در زمینه‌معماری،نجوم و... استفاده می‌شود و یکی‌از مهم‌ترین عناصر در ریاضیات‌وهندسه است.مساحت‌وحجم هم در مبحث‌هایی چون‌مختصات کروی‌ومختصات استوانه‌ای،مقطع‌مخروطی،مثلثات‌کروی،انتگرال‌ و... استفاده می‌شود.

1. Vیعنی نماد حجم(Volume)
2. S,Aیعنی نماد مساحت(Area,surface)
3. P,pیعنی نماد محیط(periphery)
4. aیعنی ضلع مکعب،منشور چندپهلو و چهاروجهی
5. a,b,cاضلاع مستطیل و متوازی السطوح
6. h,Hیعنی ارتفاع(Height)
7. مماس یعنی خطی که بر یک خط در تماس باشد و زاویه تماس آن قائم یا 90درجه باشد،مماس در فضایی سه بعدی باعث محاطی یک جسم می گردد
8. برای محاط کردن باید جسم را درجسم دیگر بر حالت مماس احاطه کنیم.
9. ترسیم سه نما از سه جهت بالا،روبه رو،راست را میکشیم
10. در گسترده کشیدن باید اجزای جسم را بکشیم و بعد آن را درهم طتبیق کنیم
11. در مقطع کار اصلی ایجاد قاعده و جسمی جدید است
12. سطح مقطع یعنی مساحت حاصل مقطع
13. دوران یعنی چرخش
14. nیعنی هم تعداد وجه ها و ضلع ها
15. 'nیعنی تعداد ضلع های وجه ها
16. کره نوعی چندوجهی است که وجه های بی نهایت دارد
17. متوازی السطوح،مکعب،مکعب مستطیل از بردار های سه بعدی تشکیل شده اند
18. نسبتSA/Vیعنی نسبت حجم به مساحت
19. Kرابطه مثلثاتی است. حجم متوازی السطوح از جذر این عدد در کنارضربa,b,c نوشته می شودو از رابطه زیر نوشته می گردد

${\displaystyle {\begin{aligned}K=1&+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\end{aligned}}}$

• مقطع مخروطی
• مثلثات کروی
• هندسه فضايی
• حجم
• مساحت
• مختصات کروی
• مختصات استوانه ای
• دوران(هندسه)

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Area». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۴سپتامبر۲۰۲۲.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Volume». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۴سپتامبر۲۰۲۲.

مقاله های اصلی تحقیق:حجم،مساحت،دوران