Eulerin–Mascheronin vakio on matemaattinen vakio , jota käytetään pääosin lukuteoriassa . Se määritellään harmonisen sarjan ja luonnollisen logaritmin erotuksen raja-arvona :
γ = lim n → ∞ [ ( ∑ k = 1 n 1 k ) − ln n ] = ∫ 1 ∞ ( 1 ⌊ x ⌋ − 1 x ) d x {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln n\right]=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx} Sitä merkitään yleensä pienellä kreikkalaisella kirjaimella γ (gamma ), ja sen likiarvo 20 desimaalin tarkkuudella on 0,57721566490153286061. Ei tiedetä, onko γ rationaali - vai irrationaaliluku . Vakiota kutsutaan myös joskus Eulerin vakioksi, mutta sitä ei pidä sekoittaa e :n, joka tunnetaan paremmin Neperin lukuna , kanssa.
Eulerin–Mascheronin vakio esiintyy muun muassa gammafunktion tulokaavassa, luonnollisen logaritmin Laplacen muunnoksessa , Eulerin φ-funktion epäyhtälössä ja osana Meisselin–Mertensin vakiota.
Historiaa Eulerin–Mascheronin vakion määritteli ensimmäisenä sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler paperissaan De Progressionibus harmonicis observationes vuonna 1735. Euler käytti vakiolle merkintöjä C ja O ja laski sen arvon viiden desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1781 hän oli laskenut vakion 15 desimaalin tarkkuudella.
Vuonna 1790 italialainen matemaatikko Lorenzo Mascheroni esitti vakiolle merkinnän A ja esitti sen arvon 31 desimaalin tarkkuudella, tosin desimaalit 20:nnestä eteenpäin osoittautuivat virheellisiksi. Mascheroni ei koskaan käyttänyt merkintää γ. Vakiolla on yhteys gammafunktioon .selvennä
Joulukuussa 2006 opiskelija Alexander J. Yee laski Eulerin–Mascheronin vakion 116 580 040 desimaalin tarkkuudella.[1]
Integraaleja γ = − ∫ 0 ∞ e − x ln x d x = − 4 ∫ 0 ∞ e − x 2 x ln x d x = − ∫ 0 1 ln ln ( 1 x ) d x = ∫ 0 ∞ ( 1 e x − 1 − 1 x e x ) d x = ∫ 0 1 ( 1 ln x + 1 1 − x ) d x = ∫ 0 ∞ ( 1 1 + x k − e − x ) d x x , k > 0 = ∫ 0 ∞ ( 1 k x + 1 − e − k x ) d x x , k > 0 = ∫ 0 ∞ ln ( 1 + x ) ln 2 x + π 2 ⋅ d x x 2 = 1 2 + 2 ∫ 0 ∞ sin ( arctan x ) ( e 2 π x − 1 ) 1 + x 2 d x = ∫ 0 1 H x d x = − ∫ 0 ∞ ( ln x e x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln x}\,dx=-4\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}x\ln x}\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{kx+1}}-e^{-kx}\right){\frac {\mathrm {d} x}{x}},\quad k>0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x)}{\ln ^{2}x+\pi ^{2}}}\cdot {\frac {dx}{x^{2}}}\\&={\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(\arctan x)}{(e^{2\pi x}-1){\sqrt {1+x^{2}}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}H_{x}dx=-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\ln x}{e^{x}}}\right)dx\end{aligned}}.} Hieman monimutkaisempia integraaleja:
∫ 0 ∞ e − x 2 ln x d x = − 1 4 ( γ + 2 ln 2 ) π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}} ∫ 0 ∞ e − x ln 2 x d x = γ 2 + π 2 6 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}.} Kaksoisintegraali gammalle on
γ = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x − 1 ( 1 − x y ) ln ( x y ) d x d y = ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − ln n + 1 n ) . {\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right).} Vertaa
ln ( 4 π ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x − 1 ( 1 + x y ) ln ( x y ) d x d y = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 1 n − ln n + 1 n ) . {\displaystyle \ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right).} Catalan löysi integraalin
γ = ∫ 0 1 1 1 + x ∑ n = 1 ∞ x 2 n − 1 d x . {\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx.} Äärettömiä sarjoja Äärettömiä tuloja e 1 + γ / 2 2 π = ∏ n = 1 ∞ e − 1 + 1 / ( 2 n ) ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle {\frac {e^{1+\gamma /2}}{\sqrt {2\,\pi }}}=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+1/(2\,n)}\,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} e 3 + 2 γ 2 π = ∏ n = 1 ∞ e − 2 + 2 / n ( 1 + 2 n ) n . {\displaystyle {\frac {e^{3+2\gamma }}{2\,\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+2/n}\,\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.} e γ = ( 2 1 ) 1 / 2 ( 2 2 1 ⋅ 3 ) 1 / 3 ( 2 3 ⋅ 4 1 ⋅ 3 3 ) 1 / 4 ( 2 4 ⋅ 4 4 1 ⋅ 3 6 ⋅ 5 ) 1 / 5 ⋯ . {\displaystyle e^{\gamma }=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/4}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/5}\cdots .} Lähteet