Gömbi geometria

Ha az ${\displaystyle A,B,C}$ pontok nincsenek egy főkörön, akkor közülük semelyik kettő sem átellenes, így páronként egyértelműen meghatároznak egy-egy gömbi szakaszt. A három gömbi szakasz a gömböt két részre vágja. A két rész közül a kisebbiket nevezzük az ${\displaystyle ABC}$ gömbháromszögnek. Az ${\displaystyle ABC}$ gömbháromszög csúcsai az ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ pontok, oldalszakaszai az ${\displaystyle A,B,C}$ pontokat páronként összekötő gömbi szakaszok. Az oldalak hosszait a szokásos módon jelöljük: ${\displaystyle a=d(B,C)}$ , ${\displaystyle b=d(A,C)}$ és ${\displaystyle c=d(A,B)}$ .Az ${\displaystyle ABC}$ gömbháromszög szögeit definiálhatjuk az általános szabály szerint: legyen BAC szög = ${\displaystyle \alpha }$ az ${\displaystyle AB}$ és ${\displaystyle AC}$ főkörívek ${\displaystyle A}$ -beli érintő félegyeneseinek szöge. Ez persze egyenlő az ${\displaystyle OA}$ egyenes által határolt, ${\displaystyle B}$ -t, illetve ${\displaystyle C}$ -t tartalmazó félsíkok által bezárt szöggel. Hasonlóan adhatjuk meg az ABC szög =${\displaystyle \beta }$ és BCA szög = ${\displaystyle \gamma }$ szögeket. Az ${\displaystyle ABC}$ euklideszi háromszög ${\displaystyle A}$ csúcsnál lévő szöge általában különbözik az ${\displaystyle ABC}$ gömbháromszög ${\displaystyle \alpha }$ szögétől.

Tulajdonságai:Ha két szög egyenlő, akkor a szemközti oldalak is egyenlőek, egyébként a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál, a gömbi geometriában az oldal az ívhossznak megfelelő (csakúgy, mint az euklideszi síkban).Felület: ${\displaystyle F=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )\ r^{2}}$ .Gömbi felesleg: ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma -\pi }$ .

A gömbi geometriában is hasonlóan érvényesek a trigonometriai azonosságok: a szinusz-, koszinusz-tétel, illetve a Pitagorasz-tétel.

${\displaystyle \sin \ a\ :\ \sin \ b\ :\ \sin \ c=\sin \ \alpha \ :\sin \ \beta \ :\sin \ \gamma }$

Bizonyítás1.:Legyen az ${\displaystyle A}$ pont merőleges vetülete az ${\displaystyle OBC}$ síkra ${\displaystyle D}$ , és legyen ${\displaystyle D}$ vetülete az ${\displaystyle OB}$ , illetve ${\displaystyle OC}$ egyenesekre ${\displaystyle E}$ és ${\displaystyle F}$ . Ekkor nyilván ${\displaystyle AE\perp OB}$ -re és ${\displaystyle AF\perp OC}$ -re. Viszont ${\displaystyle AED}$ szög = ${\displaystyle \beta }$ és ${\displaystyle AFD}$ szög = ${\displaystyle \gamma }$ , tehát ${\displaystyle \sin \ \beta }$ = ${\displaystyle {\frac {AD}{AE}}}$ és ${\displaystyle \sin \ \gamma }$ = ${\displaystyle {\frac {AD}{AF}}}$ , ezért ${\displaystyle \sin \ \beta \ :\ \sin \ \gamma }$ = ${\displaystyle AF\ :\ AE}$ . Azonban ${\displaystyle AOB}$ szög = ${\displaystyle c}$ , így ${\displaystyle AE=\sin \ c}$ . Hasonlóan ${\displaystyle AF=\sin \ b}$ , tehát ${\displaystyle \sin \ \beta \ :\ \sin \ \gamma =\sin \ c\ :\ \sin \ b}$ .

Bizonyítás2.:${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}})\ {\vec {b}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})|=\sin \ c\ \sin \ a\ \sin(\pi -\beta )}$

másrészt: ${\displaystyle ({\vec {c}}\times {\vec {a}})\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=({\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}})\ {\vec {a}}}$

${\displaystyle {\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}=|({\vec {c}}\times {\vec {a}})\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})|=\sin \ b\ \sin \ c\ \sin(\pi -\alpha )}$

${\displaystyle \longrightarrow \sin \ c\ \sin \ a\ \sin \ \beta =\sin \ b\ \sin \ c\ \sin \ \alpha }$

${\displaystyle {\frac {\sin \ a}{\sin \ b}}={\frac {\sin \ \alpha }{\sin \ \beta }}}$

${\displaystyle \cos c=\cos \ a\ \cos \ b+\sin \ a\ \sin \ b\ \cos \ \gamma }$

Bizonyítás:${\displaystyle ({\vec {b}}\times {\vec {c}})({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\vec {b}}({\vec {c}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}}))={\vec {b}}(({\vec {a}}{\vec {c}}){\vec {c}}-({\vec {c}}{\vec {c}}){\vec {a}})=({\vec {a}}{\vec {c}})({\vec {b}}{\vec {c}})-({\vec {c}}{\vec {c}})({\vec {a}}{\vec {b}})=\cos \ {\vec {b}}\ \cos \ {\vec {a}}-\cos \ {\vec {c}}}$ másrészt:${\displaystyle ({\vec {b}}\times {\vec {c}})({\vec {c}}\times {\vec {a}})=\sin \ {\vec {a}}\ \sin \ {\vec {b}}\ \cos(\pi -\gamma )}$

${\displaystyle \longrightarrow \cos \ {\vec {b}}\ \cos \ {\vec {a}}-\cos \ {\vec {c}}=-\sin \ {\vec {a}}\ \sin \ {\vec {b}}\ \cos \ \gamma }$ ${\displaystyle \cos c=\cos \ a\ \cos \ b+\sin \ a\ \sin \ b\ \cos \ \gamma }$

${\displaystyle \cos \ \gamma =-\cos \ \alpha \ \cos \ \beta +\sin \ \alpha \ \sin \ \beta \ \cos \ c}$

Bizonyítás:oldalakra vonatkozó koszinusz-tételt alkalmazzuk a polár gömbháromszögre

${\displaystyle \cos c^{*}=\cos \ a^{*}\ \cos \ b^{*}+\sin \ a^{*}\ \sin \ b^{*}\ \cos \ \gamma ^{*}}$

${\displaystyle c^{*}=\pi -\gamma }$

${\displaystyle a^{*}=\pi -\alpha }$

${\displaystyle b^{*}=\pi -\beta }$

${\displaystyle -\cos \ \gamma =\cos \ \alpha \ \cos \ \beta +\sin \ \alpha \ \sin \ \beta \ (-\cos \ c)}$

${\displaystyle \cos \ \gamma =-\cos \ \alpha \ \cos \ \beta +\sin \ \alpha \ \sin \ \beta \ \cos \ c}$

${\displaystyle cos\ c=cos\ a\ cos\ b}$

speciális esete az oldalakra vonatkozó koszinusz-tételnek, ahol ${\displaystyle \gamma =90^{o}}$

Válasszuk az ${\displaystyle A^{*}}$ pontot a gömbön úgy, hogy az ${\displaystyle OA^{*}}$ vektor az ${\displaystyle OBC}$ síknak azon egységnormálisa legyen, mely a síknak az ${\displaystyle A}$ -t nem tartalmazó félterébe mutat. Hasonlóan definiáljuk ${\displaystyle B^{*}}$ -ot és ${\displaystyle C^{*}}$ -ot. Az ${\displaystyle A^{*}B^{*}C^{*}}$ gömbháromszög az ${\displaystyle ABC}$ gömbháromszög poláris gömbháromszöge. A poláris gömbháromszög oldalait és szögeit a szokásos módon az ${\displaystyle a^{*}}$ , ${\displaystyle b^{*}}$ , ${\displaystyle c^{*}}$ és ${\displaystyle \alpha ^{*}}$ , ${\displaystyle \beta ^{*}}$ , ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ betűkkel jelöljük.

gömbháromszög oldalai:

${\displaystyle a=(b,c)}$ szög = ${\displaystyle \arccos({\vec {b}}{\vec {c}})}$

${\displaystyle b=(c,a)}$ szög = ${\displaystyle \arccos({\vec {c}}{\vec {a}})}$

${\displaystyle c=(a,b)}$ szög = ${\displaystyle \arccos({\vec {a}}{\vec {b}})}$

szögekkel való összefüggések:

${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {b}}\times {\vec {c}})}$ szög = ${\displaystyle \pi -\beta }$

${\displaystyle ({\vec {b}}\times {\vec {c}},{\vec {c}}\times {\vec {a}})}$ szög = ${\displaystyle \pi -\gamma }$

${\displaystyle ({\vec {c}}\times {\vec {a}},{\vec {a}}\times {\vec {b}})}$ szög = ${\displaystyle \pi -\alpha }$

polár gömbháromszög vektorai:

${\displaystyle {\vec {c}}^{*}=({\vec {a}}\times {\vec {b}})^{\circ }}$

${\displaystyle {\vec {b}}^{*}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})^{\circ }}$

${\displaystyle {\vec {a}}^{*}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})^{\circ }}$

polár gömbháromszög oldalainak hossza:

${\displaystyle {\vec {a}}^{*}=({\vec {c}}^{*},{\vec {b}}^{*})}$ szög = ${\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}},{\vec {c}}\times {\vec {a}})}$ szög = ${\displaystyle \pi -\alpha }$

${\displaystyle {\vec {b}}^{*}=({\vec {a}}^{*},{\vec {c}}^{*})}$ szög = ${\displaystyle ({\vec {b}}\times {\vec {c}},{\vec {a}}\times {\vec {b}})}$ szög = ${\displaystyle \pi -\beta }$

${\displaystyle {\vec {c}}^{*}=({\vec {b}}^{*},{\vec {a}}^{*})}$ szög = ${\displaystyle ({\vec {c}}\times {\vec {a}},{\vec {b}}\times {\vec {c}})}$ szög = ${\displaystyle \pi -\gamma }$

polár gömbháromszög polár gömbháromszöge:

megegyezik az eredeti polár gömbháromszöggel

${\displaystyle {\vec {c}}^{**}=({\vec {a}}^{*}\times {\vec {b}}^{*})^{\circ }}$

${\displaystyle {\vec {b}}^{**}=({\vec {c}}^{*}\times {\vec {a}}^{*})^{\circ }}$

${\displaystyle {\vec {a}}^{**}=({\vec {b}}^{*}\times {\vec {c}}^{*})^{\circ }}$

${\displaystyle {\vec {b}}^{**}\uparrow \uparrow {\vec {c}}^{*}\times {\vec {a}}^{*}\uparrow \uparrow ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=(({\vec {a}}\times {\vec {b}})\ {\vec {c}})\ {\vec {b}}-(({\vec {a}}\times {\vec {b}})\ {\vec {b}})\ {\vec {c}}=({\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}})\ {\vec {b}}}$