Harmonikus rezgőmozgás

• A test nyugalmi helyzettől való legnagyobb kitérését amplitúdónak nevezzük. Jele: A, mértékegysége: m (méter).
• A periódusidő vagy rezgésidő az egy teljes rezgés megtételéhez szükséges idő. Jele: T, mértékegysége: s (másodperc).
• A rezgésszám a t idő alatt megtett rezgések száma, jele: N, mértékegység nélküli mennyiség.
• A rezgés frekvenciája az időegység alatt megtett rezgések száma. Jele: f vagy ${\displaystyle \nu }$ , mértékegysége: ${\displaystyle {\frac {1}{s}}=Hz}$ (hertz). ${\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {N}{t}}}$
• A körfrekvencia jele: ${\displaystyle \omega }$ , mértékegysége: rad/s (nem összetévesztendő a rezgés frekvenciával, melynek mértékegysége 1/s = Hz). ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f}$
• A kezdőfázis jele: ${\displaystyle \phi _{0}}$ , mértékegység nélküli mennyiség.

Kitérés-idő függvény: ${\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})}$
Sebesség-idő függvény: ${\displaystyle v(t)=A\omega \cdot \cos(\omega t+\varphi _{0})}$
Gyorsulás-idő függvény: ${\displaystyle a(t)=-A\omega ^{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{0})=-\omega ^{2}x}$

A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása egyenesen arányos a kitéréssel, és azzal ellentétes irányú. A sebesség és a gyorsulás is periodikus függvénye az időnek.

A sebesség maximuma a sebességamplitúdó: ${\displaystyle v_{max}=A\omega }$
A gyorsulás maximuma a gyorsulásamplitúdó: ${\displaystyle a_{max}=-A\omega ^{2}}$

Az egyenletes körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolata

Figyeljünk meg egy egyenletes körmozgást és egy harmonikus rezgőmozgást végző tömegpontot! A körmozgást állítsuk be úgy, hogy a sugara egyezzen a rezgés amplitúdójával, és periódusidejük megegyezzen. Ha oldalról (a körmozgás síkjából) egymás mellé vetítjük a két tömegpont árnyékát, azonos kezdőfázis esetén a két árnyék együtt mozog, mindkettő harmonikus rezgőmozgást végez.

A harmonikus rezgőmozgást a pont egyensúlyi helyzetétől mért kitérésével egyenesen arányos, és azzal ellentétes irányú erő, az úgynevezett harmonikus erő hozza létre: ${\displaystyle F=-Dx}$ , ahol D rugóállandó vagy direkciós állandó.

A dinamika alapegyenlete: ${\displaystyle m{\ddot {x}}=-Dx}$ .

A differenciálegyenlet megoldásaként olyan függvényt keresünk, melynek idő szerinti második deriváltja arányos magával a függvénnyel. Ilyen pl. a szinusz- és a koszinuszfüggvény.

Az egyenlet megoldása: ${\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t+\varphi )}$ , ahol a körfrekvencia ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {D}{m}}}}$ , a periódusidő ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{D}}}}$ .

Egy harmonikus oszcillátornak, attól függően, hogy pályája melyik pontjában található lehet csak helyzeti (potenciális) energiája (maximális kitérés esetén), csak mozgási energiája (egyensúlyi ponton való áthaladáskor), vagy egyszerre mindkettő.

${\displaystyle E=E_{c}+E_{p}}$ , ahol a két energiát ki lehet fejteni, mint

${\displaystyle E_{p}={\frac {Dx^{2}}{2}}={\frac {kA^{2}sin^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})}{2}}}$

és

${\displaystyle E_{c}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}cos^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})}{2}}}$

Tudva, hogy ${\displaystyle \omega _{0}}$ körfrekvenciára érvényes az ${\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}}$ összefüggés, az előző egyenlet egyszerűbb alakra hozható. Vagyis,

${\displaystyle E={\frac {kA^{2}(cos^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0})+sin^{2}(\omega _{0}t+\varphi _{0}))}{2}}={\frac {kA^{2}}{2}}}$ .

A végeredmény értelmezhető a körfrekvenciával is, ekkor az előző kifejezés a következőképp módosul:

${\displaystyle E={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}}{2}}}$ ,

ami átírható az

${\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}}$ alakra is.

Az energia ${\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}}$ és ${\displaystyle E={\frac {m\omega _{0}^{2}A^{2}}{2}}(={\frac {mv^{2}}{2}})}$ alakjaiból levonhatjuk a következő következtetéseket:

1. Az energia időtől független, vagyis állandó
2. A maximális helyzeti energia megegyezik a maximális mozgási energiával
3. Köztes esetben az összenergia ${\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}}$ , amely megoszlik, mint a potenciális és mozgási energia összege az adott pillanatban

Egyirányú, azonos frekvenciájú rezgések összetétele

A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

${\displaystyle x_{1}(t)=A_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{1})}$
${\displaystyle x_{2}(t)=A_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{2})}$

Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye:${\displaystyle x(t)=A_{1}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{2})=A\cdot \sin(\omega t+\delta )}$ ,

ahol az eredő amplitúdó ${\displaystyle A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}}$ és az eredő kezdőfázis ${\displaystyle \delta =\arctan {\Biggl (}{\frac {A_{1}\sin \varphi _{1}+A_{2}\sin \varphi _{2}}{A_{1}\cos \varphi _{1}+A_{2}\cos \varphi _{2}}}{\Biggr )}}$ .

Speciális esetek

• Maximális erősítés

  Amikor ${\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}$ , vagyis a rezgések azonos fázisúak, akkor ${\displaystyle A=A_{1}+A_{2}}$ , azaz az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának összege.

• Maximális gyengítés

  Amikor ${\displaystyle |\varphi _{2}-\varphi _{1}|=\pi }$ , vagyis a rezgések ellentétes fázisúak, akkor ${\displaystyle A=|A_{1}-A_{2}|}$ , azaz az eredő rezgés amplitúdója az összetevő rezgések amplitúdójának különbsége. Ha az ellentétes fázisú rezgések amplitúdója megegyezik, A=0, a két rezgés épp kioltja egymást.

Egyirányú, különböző frekvenciájú rezgések összetétele

A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. Egy egyszerűsített esetet vizsgálunk, amikor az amplitúdók és a kezdőfázisok megegyeznek. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

${\displaystyle x_{1}(t)=A\cdot \sin(\omega _{1}t)}$
${\displaystyle x_{2}(t)=A\cdot \sin(\omega _{2}t)}$

Az eredő mozgás kitérés-idő függvénye:${\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega _{1}t)+A\cdot \sin(\omega _{2}t)=2A\cdot \cos({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t)\sin({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t)}$ .

Az amplitúdó ${\displaystyle A^{*}=2A\cdot \cos({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t)}$ .

Az amplitúdó az idő függvényében periodikusan változik, ezt lebegésnek nevezzük.

Merőleges, azonos frekvenciájú rezgések összetétele

A két rezgés frekvenciája megegyezik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A két rezgés kitérés-idő függvénye:

${\displaystyle x(t)=A\cdot \sin(\omega t)}$
${\displaystyle y(t)=B\cdot \sin(\omega t+\delta )}$

Az eredő mozgás pályája: ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{A^{2}}}+{\frac {y^{2}}{B^{2}}}-2{\frac {xy}{AB}}\cos \delta =\sin ^{2}\delta }$ . Ez egy ellipszis egyenlete.

Az ellipszis tengelyének iránya ${\displaystyle \delta }$ fáziskülönbségtől függ.

Merőleges, különböző frekvenciájú rezgések összetétele

A két rezgés frekvenciája különbözik, amplitúdójuk és kezdőfázisuk eltérhet. A körfrekvenciák aránya (${\displaystyle \omega _{1}:\omega _{2}}$ ) alapján két esetet különböztetünk meg:

• Ha a két körfrekvencia aránya racionális, az eredő rezgés periodikus és a pálya zárt. Ezeket a görbéket Lissajous-görbéknek nevezzük.

• Irracionális arányú körfrekvenciák esetén a pályagörbe nem záródik.

• Budó Ágoston: Kísérleti fizika I.
  Tankönyvkiadó, Budapest
• Tasnádi Péter - Skrapits Lajos - Bérces György: Mechanika I.
  Dialóg Campus Kiadó, Budapest-Pécs ISBN 963-9310-23-9
• Tellmann Jenő - Darvay Béla - Kovács Zoltán: Fizika, Ábel kiadó, Kolozsvár, 2006

• Fizikai kísérletek gyűjteménye: Harmonikus rezgés Archiválva 2009. augusztus 19-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Qliss3D - Lissajous-görbe rajzoló program (Ubuntu)
• Fizikakönyv.hu – Mechanikai rezgések

• Fizikai inga
• Matematikai inga
• Rezgés
• Rezonancia