Kolosszálisan bővelkedő számok

A kolosszálisan bővelkedő számokat elsőként Rámánudzsan tanulmányozta, eredményeit az 1915-ös, erősen összetett számokról szóló publikációjában kívánta megjelentetni.^[2] Sajnos a publikációt gondozó London Mathematical Society abban az időben pénzügyi nehézségekkel küzdött, ezért Rámánudzsannak rövidítenie kellett a dolgozatán, hogy a nyomdai költségek alacsonyabbak legyenek.^[3] Eredményeinek nagy része a Riemann-sejtés igazságától függtek, ebből kiindulva talált alsó és felső korlátokat a kolosszálisan bővelkedő számok nagyságára és bebizonyította, hogy a Robin-egyenlőtlenség (lásd lejjebb) igaz elegendően nagy n értékekre.^[4]

A kolosszálisan bővelkedő számok megjelentek még Leonidas Alaoglu és Erdős Pál 1944-es cikkében, amiben megkísérelték kiterjeszteni Rámánudzsan eredményeit.^[5]

A kolosszálisan bővelkedő számok csoportja a természetes számok azon csoportosításai közé tartozik, melyek megpróbálják valahogy megragadni azt az elképzelést, hogy egy szám sok osztóval rendelkezik. Egy adott n pozitív egész számhoz tartozó σ(n) osztóösszeg-függvény megadja az n-et osztó összes szám summáját, az 1-et és magát az n-et is beleértve. Paul Bachmann kimutatta, hogy σ(n) értéke átlagosan π²n / 6 körül mozog.^[6] Grönwall tétele szerint azonban a σ(n) függvény maximális rendje (wd) ennél mindig kissé nagyobb értéket vesz föl, méghozzá létezik n egészek olyan növekvő sorozata, melyekre a σ(n) értéke nagyjából e^γnlog(log(n)), ahol γ az Euler–Mascheroni-állandó.^[6] Tehát a kolosszálisan bővelkedő számok oly módon ragadják meg a sok osztóval rendelkezés fogalmát, hogy megkövetelik valamely ε > 0 értékre, hogy a

${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}}$

függvény értéke az összes n közül maximális legyen. Bachmann és Grönwall eredményei biztosítják, hogy a függvénynek minden ε > 0-ra van maximuma és ez a maximum annál nagyobb, minél közelebb van ε a nullához. Így tehát végtelen sok kolosszálisan bővelkedő szám létezik, bár meglehetősen ritkásan helyezkednek el a számegyenesen, a 10¹⁸-nál kisebb számok közül mindössze 22 ilyet találunk.^[7]

A fenti függvénynek minden ε-ra van maximumhelye, de nem nyilvánvaló (és valóban nem is igaz), hogy ez a maximális érték minden ε-ra különböző lenne. Alaoglu és Erdős vizsgálták, hogy adott ε értékre hány különböző n értékre lehet maximális a függvényérték. Megmutatták, hogy a legtöbb ε értékre egyetlen n egész számra maximális a függvény. Később Erdős és Jean-Louis Nicolas megmutatta, hogy ε bizonyos diszkrét értékeire 2 vagy 4 különböző maximális értéket adó n is létezhet.^[8]

1944-es dolgozatukban Alaoglu és Erdős azt a sejtést mondták ki, miszerint két egymást követő kolosszálisan bővelkedő szám hányadosa mindig prímszám. Megmutatták, hogy ez következne a transzcendenciaelmélet négy exponenciális-sejtésének egy speciális esetéből, miszerint bármely két különböző p és q prímszámokra azok a t valós számok, melyekre p^t és q^t is racionális, éppen a természetes számok. A három prímszámra vonatkozó eredmény felhasználásával – a hat exponenciális-tétel azon speciális esete, amit Siegel állítólag bebizonyított – megmutatták, hogy egymást követő kolosszálisan bővelkedő számok hányadosa prím vagy félprím, de semmiképpen sem prím négyzete.

Alaoglu és Erdős sejtését nem sikerült sem igazolni, sem cáfolni, bár érvényességét legalább 10⁷-ig tesztelték.^[9] Ha a sejtés igaz, akkor létezik (nem feltétlenül különböző) prímszámok p₁, p₂, p₃… sorozata, amire igaz, hogy az n-edik kolosszálisan bővelkedő szám:

${\displaystyle c_{n}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}}$

Ha a sejtés igaz, ez a sorozat így kezdődik: 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (A073751 sorozat az OEIS-ben). Alaoglu és Erdős sejtéséből az is következne, hogy nincs olyan ε érték, amire négy különböző n szám is kiadja a fenti függvény maximumát.

Az 1980-as években Guy Robin igazolta,^[10] hogy a Riemann-sejtés ekvivalens azzal az állítással, hogy a következő egyenlőtlenség igaz minden n > 5040 esetre: (ahol γ az Euler–Mascheroni-állandó)

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n\approx 1,781072418\cdot n\log \log n\,}$

Ismert, hogy az egyenlőtlenség nem teljesül a következő 27 számra: (A067698 sorozat az OEIS-ben):

2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 2520, 5040.

Robin bebizonyította, hogy ha a Riemann-sejtés igaz, akkor n = 5040 az utolsó egész, amire az egyenlőtlenség hamis. Munkája nyomán nevezik az egyenlőtlenséget Robin-egyenlőtlenségnek. Tudjuk, hogy ha a Robin-egyenlőtlenség egy további számra nem teljesülne, akkor az a szám kolosszálisan bővelkedő szám lesz; a Riemann-sejtés tehát ekvivalens azzal az állítással, hogy a Robin-egyenlőtlenség minden n > 5040 kolosszálisan bővelkedő számra igaz.

2001–2002-ben Lagarias^[7] bemutatta Robin sejtésének egy alternatív alakját, amihez nincs szükség kivételek megállapítására. Lagarias logaritmus helyett harmonikus számokat használ:

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\exp(H_{n})\log(H_{n})}$

Vagy, ha a 8 kivételtől eltekintünk (n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60):

${\displaystyle \sigma (n)<\exp(H_{n})\log(H_{n})}$

• Keith Briggs on colossally abundant numbers and the Riemann hypothesis
• MathWorld entry
• Notes on the Riemann hypothesis and abundant numbers
• More on Robin's formulation of the RH