Szangamagrámi Mádhava

Mádhava az arkusz tangens kiszámítására az alábbi végtelen sort írja le:

${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+...}$

Ha ${\displaystyle x=1}$ , a Leibniz-sor néven ismert végtelen sorozatot kapjuk, ami a ${\displaystyle \pi }$ értékének egyik közelítését adja meg.

Két konkrét szám hányadosaként

Egy versben megadja két szám hányadosaként a pí értékét, ami 11 tizedesjegyre pontos:

2 827 433 388 233 / 900 000 000 000 = 3,14159265359

A kör kerülete

A pí értékét levezeti a kör kerülete hosszának meghatározásából is, amit geometriailag egy sokszöggel közelít.

Ismerteti a végtelen sorral való közelítés módszerét, amit Mádhava–Leibniz-módszerként ismerünk. Ebben a végtelen sor helyett a gyakorlatban használt véges számú tag után egy korrekciós tényezőt is megad, amivel a képlet a pontos érték felé jobban közelít.

${\displaystyle C\approx {\frac {4D}{1}}-{\frac {4D}{3}}+{\frac {4D}{5}}...+(-1)^{n-1}{\frac {4D}{2n-1}}+(-1)^{n}{\frac {4Dn}{(2n)^{2}-1}}}$

ahol

${\displaystyle C:}$ a kör kerülete

${\displaystyle D:}$ a kör átmérője

${\displaystyle n:}$ a számításba vett tagok száma

${\displaystyle (-1)^{n}{\frac {4Dn}{(2n)^{2}-1}}:}$ a korrekciós tényező

Mádhava megjegyzi, hogy „ha az osztást sokszor végezzük el, az eredmény nagyon pontos lesz”. Az eltérés a pontos értéktől három tag esetén = 0,5%, négy tagnál = 0,2%, öt tagnál = 0,12%, tíznél  = 0,01%.

Egyéb

A pi értékének kiszámítására az alábbi képletet is alkalmazza:

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}...\right)}$

${\displaystyle Sin\phi =\phi -\left({\frac {\phi ^{3}}{R^{2}\cdot 3!}}-\left({\frac {\phi ^{5}}{R^{4}\cdot 5!}}-\left({\frac {\phi ^{7}}{R^{6}\cdot 7!}}-...\right)\right)\right)}$

ahol

${\displaystyle \phi :}$ a kiszámítandó szög percben megadva

A fentiek csupán illusztrációi annak, amikkel Mádhava és követői foglalkoztak. A Keralai iskola keretében készült egyes írásokból világosan látszik, hogy a korábbi munkákat gondosan elemezték, illetve azokhoz kritikus megjegyzéseket fűztek. Vagyis a korábbi kutatások eredményeit nem szolgai másolással adták tovább, hanem meg is vizsgálták azok tartalmát és helyességét.

Mádhava követői a „Keralai iskolában” halála után a 16. századig bővítették tovább műveit.^[4][5]

Mádhava egyik tanítványa, Paramesvara különösen kitűnt abban, hogy újabb változatait dolgozta ki a végtelen sorok közelítési módszereinek és újabbakat talált ki. Paramesvara érdeklődött az iterációs algoritmusok konvergálási feltételeinek vizsgálata iránt. Főleg azokat vizsgálta, ahol a konvergálás lassan ment végbe, és ezeken próbált javítani. Módszere gyakorlatias volt, nem indokolta meg az eredményeit (abban a korszakban ez volt a szokás).

Figyelembe véve az Arab-tenger partja mentén fekvő malabari partvidék akkori nemzetközi, kereskedelmi jellegét és az ebből fakadó multikulturális, kozmopolita lakosságot, feltételezhető, hogy Mádhava és követőinek munkája eljutott az iszlám világba és azon keresztül a később kialakuló európai matematikai szemléletre is hatással lehetett.^[6][7] Feltételezések szerint a 16. század második felében, jezsuita misszionáriusok Koccsi tengeri kikötőváros körzetében is a tengeri navigáció egyes problémáit megoldó trigonometriai és naptári módszereket kerestek. Rábukkanhattak a Keralai iskola által kidolgozott, szinusz-értéket közelítő számítások módszerére, amik leírásait magukkal vihették Európába.

Nincs bizonyíték arra, hogy ezeknek a matematikai munkáknak a 16. vagy 17. században létezett volna latin nyelvű fordítása, vagy akár összefoglalója Európában, és az infinitezimális számítások kidolgozói sem említik, hogy indiai munkákra támaszkodtak volna. Ugyanakkor a matematikatörténetben széles körben elfogadott nézet (konkrét írásos bizonyíték nélkül is), hogy az indiai matematika hatással volt a matematika európai alakulására az arab tudósok munkáin keresztül, és ez az elképzelés a matematikai módszerek koncepcióinak nagyfokú hasonlóságán alapul.

K.V. Sarma a következő műveket Mádhavának tulajdonítja:^[8][9]

1. Golavada
2. Madhyamanayanaprakara
3. Mahajyanayanaprakara
4. Lagnaprakarana (लग्नप्रकरण)
5. Venvaroha (वेण्वारोह)^[10]
6. Sphutacandrapti (स्फुटचन्द्राप्ति)
7. Aganita-grahacara (अगणित-ग्रहचार)
8. Chandravakyas (चन्द्रवाक्यानि)

• James Tanton, Ph.D.: Encyclopedia of Mathematics, Facts On File Inc., 2005, ISBN 0-8160-5124-0
• Kim Plofker: Mathematics in India, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-12067-6

• K. V. Sarma: A History of the Kerala School of Hindu Astronomy, Hoshiarpur, 1972
• C. T. Rajagopal, M. S. Rangachari: On medieval Keralese mathematics, Arch. History Exact Sci., Band 35, 1986, p. 91-99
• Radha Charan Gupta: The Madhava-Gregory series, Math. Education, Band 7, 1973, B67-B70.