Բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցում

Շղթայական կանոնը առաջին անգամ օգտագործվել է Լայբնիցի կողմից։ Նա այն օգտագործել է ${\displaystyle {\sqrt {a+bz+cz^{2}}}}$ ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվելու համար՝ որպես քառակուսի արմատային ֆունկցիայի և ${\displaystyle a+bz+cz^{2}\!}$ ֆունկցիայի համադրույթ(կոմպազիցիա)։ Առաջին անգամ նշել է 1676 թվականին իր հուշագրություններում^[1]։ Շղթայական կանոնը չի երևում Լեոնարդ Էյլերի և ոչ մի գրքում, չնայած դրանք գրվել են Լայբնիցի հայտնագործությունից հարյուր տարի անց։

Դիցուք տրված են թվային ուղղի վրա որոշված ${\displaystyle f:U(x_{0})\to V(y_{0})}$ ֆունկցիաները, որտեղ ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}$ և ${\displaystyle g:V(y_{0})\to \mathbb {R} }$ ։ Դիցուք այդ ֆունկցիաները նաև դիֆերենցելի են․ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0})}$ ։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես կլինի դիֆերենցելի․ ${\displaystyle h=g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),}$ և նրա ածանցյալը կունենա հետևյալ տեսքը․

${\displaystyle h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})}$ ։

Դիտողություն

Լեյբնիցի նշանակումներում շղթայական կանոնը ${\displaystyle y=y(x)}$ ֆունկցիայի ածանցյալի համար, որտեղ ${\displaystyle x=x(t)}$ ընդունում է հետևյալ տեսքը

${\displaystyle h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).}$

Առաջին կարգի դիֆերենցիալի ինվարիանտությունը

${\displaystyle y_{0}}$ կետում դիֆերենցելի ${\displaystyle z=g(y)}$ ֆունկցիան ունի

${\displaystyle dz=g'(y_{0})\,dy}$ տեսքը, որտեղ

${\displaystyle dy}$  —ը ${\displaystyle y\to y_{0}}$  ֆունկցիայի դիֆերենցիալ արտապատկերումն է

${\displaystyle dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} }$ ։

Դիցուք այժմ ${\displaystyle y=f(x),\;x\in U(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$ ։ Ապա ${\displaystyle dy=f'(x_{0})\,dx}$ և համաձայն շղթայական կանոնի

${\displaystyle dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy}$ ։

Այսինքն առաջին կարգի դիֆերենցիալի բանաձևը մնում է նույնը։

Օրինակ

Դիցուք ${\displaystyle h(x)=(3x^{2}-5x)^{7}}$ ։ Ապա ${\displaystyle h}$ ֆունկցիան կարելի է գրել ${\displaystyle h=g\circ f,}$ կոմպոզիցիայի տեսքով, որտեղ

${\displaystyle f(x)=3x^{2}-5x,\;}$

${\displaystyle g(y)=y^{7}.\;}$

Առանձին դիֆերենցելով այդ ֆունկցիան՝

${\displaystyle f'(x)=6x-5,\;}$

${\displaystyle g'(y)=7y^{6},\;}$

կստանանք

${\displaystyle h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5)}$ ։

Դիզուք տրված են ${\displaystyle f:U(x_{0})\subset \mathbb {R} ^{m}\to V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n},}$ և ${\displaystyle g:V(y_{0})\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}}$ ֆունկցիաները, որտեղ ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ ։ Ենթադրենք նաև, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են․ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$ և ${\displaystyle g\in {\mathcal {D}}(y_{0})}$ ։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես դիֆերենցելի է և այդ դիֆերենցիալը ունի

${\displaystyle dh(x_{0})=dg(y_{0})\circ df(x_{0})}$ տեսքը^[2]։

Մասնավոր դեպքում, Յակոբիի մատրից ${\displaystyle h}$ ֆունկցիան հանդիսանում է ${\displaystyle g}$ և ${\displaystyle f}$ ֆունկցիաների Յակոբիի մատրիցների արտադրյալը։

${\displaystyle {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.}$

Հետևանքներ

• Երկու ֆունկցիաների Յակոբյան կոմպոզիցիան դա անհատական ֆունկցիաների յակոբյանների արտադրայալն է․

  ${\displaystyle \left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert .}$

Բարդ ֆունկցիայի մասնավոր ածանցյալի համար ճշմարիտ է․

• ${\displaystyle {\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_{0})}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots m}$ ։

Օրինակ

Դիցուք տրված է երեք փոփոխականներով ${\displaystyle h(x,y,z)=\sin x+\cos ^{2}(x+y+z)-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}\;}$ ֆունկցիան և պահանջվում է գտնել նրա մասնական ածանցյալը ըստ ${\displaystyle x}$ փոփոխականի։ ${\displaystyle h\;}$ ֆունկցիան կարող է գրվել որպես ${\displaystyle h(x,y,z)=f(u,v,w)}$ , որտեղ

${\displaystyle f(u,v,w)=u+v^{2}+w,\;}$

${\displaystyle u(x,y,z)=\sin x,\;}$

${\displaystyle v(x,y,z)=\cos(x+y+z),\;}$

${\displaystyle w(x,y,z)=-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}.\;}$

Ապա ${\displaystyle h}$ ֆունկցիայի մասնական ածանցյալը ըստ ${\displaystyle x}$ փոփոխականի կունենա հետևյալ տեսքը․

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial x}}}$

Հաշվենք ածանցյալները․

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}=1,\;{\frac {\partial f}{\partial v}}=2v,\;{\frac {\partial f}{\partial w}}=1,\;{\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x,\;{\frac {\partial v}{\partial x}}=-\sin(x+y+z),\;{\frac {\partial w}{\partial x}}=-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.\;}$

Տեղադրելով գտնված ածանցյալները․

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=1\cdot \cos x\quad +\quad 2\cdot {\Bigl (}\cos(x+y+z){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}-\sin(x+y+z){\Bigl )}\quad +\quad 1\cdot \left(-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}\right)}$

Արդյունքում

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=\cos x-\sin(2x+2y+2z)-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.}$

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Գ․Մ․Ֆիխտենգոլց; Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ,6-րդ հրատ․, — Մ.: Նաուկա, 1966. — էջ 680։