Բելլի պարադոքս

Բելլի տեսակետում երկու տիեզերանավերը, որոնք որոշակի իներցիալ հաշվարկի համակարգի (ԻՀՀ) նկատմամբ սկզբում դադարի վիճակում էին, կապված են իրար մինչև վերջ ձգված լարով։ ԻՀՀ-ի ժամացույցին համապատասխանող Ժամանակի զրոյական պահին երկու տիեզերանավերն էլ սկսում են արագացվել ${\displaystyle g}$ հաստատուն սեփական արագացումով, որը չափվում է նավակողին տեղադրված արագացուցիչներով։ Հարցը այն է, թե կկտրվի արդյոք լարը, այսինքն՝ կմեծանա արդյոք նրանց միջև հեռավորությունը։ Դևանի և Բերանի, ինչպես նաև Բելլի կարծիքների համեմատությամբ, դադարի հաշվարկման համակարգում նրանց հեռավորությունները կմնան անփոփոխ, սակայն լարի երկարությունը կկրի ռեյլատիվիստական կրճատում, այնպես որ ժամանակի ինչ-որ պահի լարը կկտրվի։ Պրոբլեմի այսպիսի լուծման համար առաջադրվեցին հակադրություններ, որոնք հետագայում, իրենց հերթին, ենթարկվեցին քննադատության։ Օրինակ, Փոլ Նորոկին (անգլ.՝ Paul Nawrocki) ենթադրեց, որ լարը չի կտրվի^[4], իսկ Էդմոնդ Դևանը այդ նույն ժամանակ (անգլ.՝ Edmond Dewan) իր պատասխան աշխատանքում պաշտպանում էր նախկին տեսակետը^[5]։ Բելլը գրում է, որ հանդիպել է մի հայտնի փորձարարի զսպված թերահավատության՝ ի պատասխան պարադոքսի իր շարադրանքի։ Որպեսզի վեճը լուծվի, անցկացվել է ՑԵՌՆի տեսական բաժնի ոչ պաշտոնական ժողով։ Բելլը հաստատում էր, որ ամբողջ բաժնի կարծիքով թելը չպիտի կտրվի։ Հետո ավելացնում է․ «Իհարկե շատերը, սկզբից ունենալով սխալ պատասխան, հասան իրական գաղափարին հետագա դատողությունների շնորհիվ»^[1]։ Ավելի ուշ՝ 2004 թվականին, Մացուդան և Կինոստան^[6] գրեցին, որ ճապոնական ամսագրում իրենց կողմից հրատարակված նյութը, որը պարունակում էր պարադոքսի ավելի ընդլայնված տարբերակը, ենթարկվել է սուր քննադատության։ Հեղինակները այդ քննաատությունների մասին ոչինչ չեն ասում և միայն նշում են, որ դրանք գրված էին ճապոներեն^[7][8]։

Հետագա վերլուծության ժամանակ տիեզերանավերը կհամարենք որպես նյութական կետեր և կդիտարկենք միայն լարի երկարությունը։ Վերլուծվում է այն դեպքը, երբ տիեզերանավերը որոշակի ${\displaystyle T}$ ժամանակամիջոց հետո անջատում են շարժիչները։ Բոլոր իներցիալ հաշվարկման համակարգերում կկիրառվեն գալիլեյան կոորդինատները^[1][9]։

Դևանի ու Բերանի, ինչպես նաև Բելլի շարադրման համապատասխան՝ մեկնարկային հրապարակների հետ կապված հաշվանքի համակարգում, որը կանվանենք ${\displaystyle S}$ ՀՀ, որոնց նկատմամբ մինչ շարժիչների աշխատանքը հրթիռները գտնվում էին դադարի վիճակում, հրթիռների միջև ${\displaystyle A}$ և ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle L}$ հեռավորությունը, «որոշման համաձայն», պետք է մնա հաստատուն։ Դա կարելի է պարզաբանել հետևյալ կերպ։ Իրենց սկզբնական դիրքերից հրթիռների տեղաշարժը ՀՀ ${\displaystyle S}$ -ում ${\displaystyle X}$ առանցքի երկայնքով որպես ժամանակից կախված ֆունկցիա կգրվի հետևյալ կերպ՝ ${\displaystyle f(t)}$ : Այս ֆունկցիան կախված է հրթիռի քարշի ուժից, բայց կարևոր է, որ այն նույնն է երկուսի համար էլ։ Այդ պատճառով յուրաքանչյուր հրթիռի դիրքը՝ որպես ժամանակից կախված ֆունկցիա, կունենա այս տեսքը՝ ${\displaystyle x_{A}=a_{0}+f(t),\quad x_{B}=b_{0}+f(t),}$ որտեղ

${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t<0}$ -ի դեպքում հավասար է 0 և անընդհատ է ${\displaystyle t}$ բոլոր արժեքների դեպքում;

${\displaystyle x_{A}}$ -ն ${\displaystyle A}$ հրթիռի (${\displaystyle x}$ -կոորդինատի) դիրքն է ;

${\displaystyle x_{B}}$ -ն ${\displaystyle B}$ հրթիռի (${\displaystyle x}$ -կոորդինատի) դիրքն է ;

${\displaystyle a_{0}}$ -ն հրթիռի դիրքն է ${\displaystyle A}$ երբ ${\displaystyle t=0}$ ;

${\displaystyle b_{0}}$ -ն հրթիռի դիրքն է ${\displaystyle B}$ երբ ${\displaystyle t=0}$ :

${\displaystyle x_{A}-x_{B}=a_{0}-b_{0}\,}$ հետևում է, որ այն հանդիսանում է ժամանակից անկախ հաստատուն մեծություն։ Բոլոր տիպի սինքրոն շարժումների համար այս արգումենը ճշմարիտ է։Այսպիսով՝ ${\displaystyle f(t)}$ տեսքի մանրամասն իմացությունը, հետագա վերլուծության համար, կարևոր չէ։ Նշենք, սակայն, որ ${\displaystyle f(t)}$ -ի ձևը, սեփական հաստատուն արագացման համար, լավ հայտնի է(տես՝ հիպերբոլական շարժում)^[10]։

Դիտարկելով տարածաժամանակային դիագրամը (աջից), կարելի է նկատել, որ ${\displaystyle A'}$ և ${\displaystyle B'}$ պատահարներում հրթիռները դադարում են արագացվել, որոնք ${\displaystyle S}$ ՀՀ-ում միաժամանակ են։ Ակնհայտ է նաև, որ այս պատահարները միաժամանակյա չեն հրթիռներին կապված ՀՀ-ում։ Սա հանդիսանում է միաժամանակության հարաբերականության օրինակ։ Նախորդից հայտնի է, որ ${\displaystyle A'B'}$ հատվածի երկարությունը հավասար է ${\displaystyle AB}$ -ի երկարությանը, որը իր հերթին, համընկնում է հրթիռների ${\displaystyle L}$ հեռավորությանը։ Ակնհայտ է նաև, որ ${\displaystyle A}$ և ${\displaystyle B}$ հրթիռների արագությունները ${\displaystyle S}$ ՀՀ-ում արագացված շարժման ավարտից հետո հավասար է ${\displaystyle v}$ -ի։ Վերջապես, ${\displaystyle A}$ և ${\displaystyle B}$ հրթիռների սեփական հեռավորությունը, արագացված շաժման փուլից հետո հավասար կլինի նրան ուղեկցող ԻՀՀ-ում ունեցած հեռավորությանը և հավասար ${\displaystyle A'B''}$ գծի երկարությանը։ Այս գիծը հանդիսանում է ${\displaystyle t'}$ ուղեկցող հաշվանքի համակարգում ժամանակավոր կոորդինատի հաստատունի գիծը, որը կապված է ${\displaystyle S}$ ՀՀ-ի կոորդինատների հետ Լորենցի ձևափոխություններով։

${\displaystyle t'={\frac {\left(t-vx/c^{2}\right)}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.A'B''}$ -ն իրենից ներկայացնում է գիծ, վերցված հրթիռների ՀՀ-ի հետ «միաժամանակ», այսինքն նրանց համար միայն տարածաչափական:Քանի որ ինտերվալը հանդիսանում է ինվարիանտ ՀՀ-ի ձևափոխություններին համեմատ, ապա կարելի է հաշվել ցանկացած հաշվարկման համակարգում, տվյալ դեպքում ${\displaystyle S}$ համակարգում։ Մաթեմատիկորեն ${\displaystyle S}$ ՀՀ-ի կոորդինատների միջոցով վերոհիշյալ քննարկումները կգրվեն այսպես՝

${\displaystyle t_{B'}=t_{A'}\,,}$

${\displaystyle x_{B}-x_{A}=x_{B'}-x_{A'}=L\,,}$

${\displaystyle x_{B''}-x_{B'}=v\left(t_{B''}-t_{B'}\right),}$

${\displaystyle t_{B''}-{\frac {v}{c^{2}}}x_{B''}=t_{A'}-{\frac {v}{c^{2}}}x_{A'}\,,}$

${\displaystyle {\overline {A'B''}}={\sqrt {\left(x_{B''}-x_{A'}\right)^{2}-c^{2}\left(t_{B''}-t_{A'}\right)^{2}}}\,.}$

Օգտագործելով օժանակ փոփոխականները

${\displaystyle H=t_{B''}-t_{B'}=t_{B''}-t_{A'}\,,}$

${\displaystyle W=x_{B''}-x_{B'}\,,}$

և նկատելով, որ

${\displaystyle W+L=x_{B''}-x_{B'}+x_{B'}-x_{A'}=x_{B''}-x_{A'}\,,}$

հավասարումը կարելի է գրել

${\displaystyle W=vH\qquad H={\frac {v}{c^{2}}}\left(W+L\right)\qquad {\overline {A'B''}}={\sqrt {\left(W+L\right)^{2}-c^{2}H^{2}}}}$

և լուծել

${\displaystyle {\overline {A'B''}}={\frac {L}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}$

Հետևաբար, ուղեկցող համակարգում հրթիռների միջև հեռավորության նկարագրությունը աճում է ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ անգամ։ Քանի որ լարը չի կարող այդչափ ձգվել, այն կկտրվի։

Բելլը նշեց, որ մարմինների ռեյլատիվիստիկ կարճացումը, այնպես ինչպես և հրթիռների միջի հեռավորության փոքրացումը քննարկված մտավոր էքսպերիմենտում կարելի է բացատրել դինամիկորեն՝ օգտագործելով Մաքսվելի հավասարումները։ Միջմոլեկուլային էլեկտրամագնիսական դաշտերի աղավաղումը հանգեցնում է շարժվող մարմինների կրճատման կամ նրանց մեջ լարվածության առաջացման, եթե կրճատումը կանխարգելվի։ Բայց հրթիռների միջև այդ ուժերը բացակայում են^[7][8]։

Բելլի պարադոքսը հազվադեպ հիշատակվում է հարաբերականության տեսության վերաբերյալ դասագրքերում, երբեմն էլ ինտերնետ դասընթացներում։

Ավելի հաճախ դասագրքերում և մենագրություններում հիշատակվում է Մաքս Բոռնի պինդ շարժման համարժեք խնդիրը։ Նույն արագացումով երկու հրթիռների միջև հեռավորության փոխարեն խնդիրն այնտեղ վերաբերում է երկրորդ հրթիռի այնպիսի արագացմանը, որի դեպքում նրանց միջև հեռավորությունը կպահպանվի հրթիռներին ուղեկցող հաշվարկման համակարգում։ Արագացումները պետք է տարբեր լինեն^[11][12]։ Որպեսզի սկզբում որոշակի ՀԻՀ-ում դադարի վիճակում գտնվող երկու հրթիռները պահպանեն իրենց հեռավորությունը, առջևում գտնվող հրթիռը պետք է ունենա ավելի փոքր^[12] արագացում^[13]։

Նմանատիպ խնդիր է նաև միևնույն արագացումով հրթիռներում ժամացույցերների սինքրոնացումը, որը 1907 թվականին պարզաբանվել է Այնշթայնի կողմից^[14]։ Դա նրան հանգեցրել է ժամանակի գրավիտացիոն դանդաղեցման գաղափարին^[15]։

• Հիպերբոլական շարժում
• Ռիդլերի կոորդինատներ
• Էրենֆեստի պարադոքս
• Սուզանավի պարադոքս
• Աստիճանի պարադոքս
• Բորնի պնդություն