Խառը վիճակ

Խտության մատրիցը սահմանվում է հետևյալ արտահայտությամբ

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}^{n}\omega _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$ ,

որտեղ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ -ով նշանակված է մաքուր վիճակի վեկտորը, իսկ ${\displaystyle \omega _{i}}$ -ով — այդ վեկտորով նկարագրվող վիճակում գտնվելու հավանականությունը։ Մաքուր վիճակը նկարագրելու համար նույնպես կարելի է օգտագործել խտության մատրիցը։ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ մաքուր վիճակին համապատասխանում է ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{\text{մ}}=|\psi \rangle \langle \psi |}$ խտության մատրիցը։

Հատկություններ

1. ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ -ն հերմիտյան ոչ բացասական օպերատոր է, որը ունի միավոր հետք ${\displaystyle {\rm {Tr}}({\hat {\rho }})=\sum _{\alpha }\langle \alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle =1:}$ Այստեղ ${\textstyle |\alpha \rangle }$ -ով նշանակված վեկտորները ներկայացնում են ցանկացած բազիս։
2. խտության մատրիցի քառակուսու հետքը մեկից ոչ ավել է ${\displaystyle {\rm {Tr}}({\hat {\rho }}^{2})\leq 1}$ :
3. Որևէ ֆիզիկական մեծություն ներկայացնող ${\displaystyle {\hat {A}}}$ օպերատորի միջին մեծությունը տրվում է հետևյալ հետքով${\textstyle \langle {\hat {A}}\rangle =\sum _{i}\omega _{i}\langle \psi _{i}|{\hat {A}}|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\omega _{i}\langle \psi _{i}|{\hat {A}}\left(\sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |\right)|\psi _{i}\rangle =\sum _{\alpha }\langle \alpha |\left(\sum _{i}\omega _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|{\hat {A}}\right)|\alpha \rangle ={\rm {Tr}}({\hat {\rho }}{\hat {A}})}$ :
4. խտության մատրիցի էվոլյուցիան տրվում է ֆոն Նեյմանի հավասարությամբ

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}={\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {\rho }}],}$$

${\displaystyle {\hat {H}}}$

Մաքուր վիճակի խտության մատրիցը

Որպես մաքուր վիճակի չափանիշ, կարող է օգտագործվել հետևյալ պայմաններից մեկը.

1. ${\displaystyle {\hat {\rho }}^{2}={\hat {\rho }}}$ ,
2. ${\displaystyle {\rm {Tr}}({\hat {\rho }}^{2})=1}$ ,
3. ֆոն Նեյմանի Էնտրոպիայի զրոյական արժեքը ${\displaystyle S=-Tr({\hat {\rho }}\ln({\hat {\rho }}))=0}$ ^[1]։

Խառը վիճակը տարբերվում է քվանտային վերադրումից։ Օրինակ երկաստիճան համակարգի դեպքում ${\textstyle |\psi >=c_{1}|\downarrow >+c_{2}|\uparrow >}$ վեկտորը և ${\textstyle {\hat {\rho }}=|c_{1}|^{2}|\downarrow ><\downarrow |+|c_{2}|^{2}|\uparrow ><\uparrow |}$ խտության մատրիցը նկարագրում էն տարբեր վիճակներ^[2]։ Նշված վերադրմանը համապատասխանող խտության մատրիցը հետևյալն է

$${\displaystyle {\hat {\rho }}=(c_{1}|\downarrow >+c_{2}|\uparrow >)(c_{1}^{*}<\downarrow |+c_{2}^{*}<\uparrow |)=|c_{1}|^{2}|\downarrow ><\downarrow |+|c_{2}|^{2}|\uparrow ><\uparrow |+\left(c_{1}c_{2}^{*}|\downarrow ><\uparrow |+c_{1}^{*}c_{2}|\uparrow ><\downarrow |\right):}$$

Խտության մատրիցի օգտագործման անհրաժեշտությունը պարզվում է քվանտային համակարգի ենթահամակարգը դիտարկելիս։ Դիցուք ${\textstyle A}$ -ն և ${\textstyle {\tilde {A}}}$ -ն քվանտային համակարգեր են, որոնք որպես ամբողջություն նկարագրվում են ${\displaystyle |\psi \rangle }$ վեկտորով։ Կոմպոզիտային համակարգի ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ hիլբերտյան տարածությունը տենզորային արտադրյալն է ենթահամակարգների տարածությունների ${\textstyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H_{A}}}\otimes {\mathcal {H_{\tilde {A}}}}}$ : Դա նշանակում է որ ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ տարածության բազիսը կարելի է կազմել ${\textstyle {\mathcal {H_{A}}}}$ -ի և ${\textstyle {\mathcal {H_{\tilde {A}}}}}$ -ի ${\displaystyle |a_{i}\rangle }$ և ${\displaystyle |{\tilde {a}}_{j}\rangle }$ բազիսներից վորպես տենզորային արտադրյալ ${\displaystyle |a_{i},{\tilde {a}}_{j}\rangle =|a_{i}\rangle \otimes |{\tilde {a}}_{j}\rangle }$ :

Դիտարկենք ${\textstyle A}$ ենթահամակարգում ${\textstyle f}$ ֆիզիկական մեծության չափումը։ Աիդ մեծության միջինը տրվում է հետևյալ արտահայտությամբ

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {f}}|\psi \rangle =\sum _{i,j}\sum _{i',j'}\langle \psi |a_{i},{\tilde {a}}_{j}\rangle \langle a_{i},{\tilde {a}}_{j}|{\hat {f}}|a_{i'},{\tilde {a}}_{j'}\rangle \langle a_{i'},{\tilde {a}}_{j'}|\psi \rangle =\sum _{i'}\left[\sum _{i}\langle a_{i'}|\left(\sum _{j}\langle {\tilde {a}}_{j}|\psi \rangle \langle \psi |{\tilde {a}}_{j}\rangle \right)|a_{i}\rangle \langle a_{i}|{\hat {f}}|a_{i'}\rangle \right]=\sum _{i'}\langle a_{i'}|\left(\sum _{j}\langle {\tilde {a}}_{j}|\psi \rangle \langle \psi |{\tilde {a}}_{j}\rangle \right){\hat {f}}|a_{i'}\rangle ={\rm {Tr}}_{A}({\hat {\rho }}_{A}{\hat {f}})}$

Այստեղ ${\displaystyle {\hat {\rho }}_{A}}$ -յով նշանակված է ${\textstyle A}$ ենթահամակարգի խտության մատրիցը որը տրվում է ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$ օպերատորի մասնակի հետքով։ Կարեվոր է նշել որ չնայած ամբողջական համակարգի մաքուր վիճակում գտնվելուն, նրա ենթահամակարգը ընդհանուր առմամբ գտնվում է խառը վիճակում։ Միայն ${\textstyle A}$ և ${\textstyle {\tilde {A}}}$ ենթահամակարգերի խճճված չլինելու դեպքում նրանցից յուրաքանչյուրը նույնպես կգտնվի մաքուր վիճակում։ Այդ դեպքում ${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{A}\rangle \otimes |\psi _{\tilde {A}}\rangle }$ իսկ ${\textstyle {\hat {\rho }}_{A}=|\psi _{A}\rangle \langle \psi _{A}|}$ :

• F. Schwabl Quantum mechanics. — Мunich: Springer-Verlag, 2007. — 424 с. — P. 371-377.
• Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — Москва: Физматлит, 2004. — С. 61-65. — 800 с.