Պարզ թվերի ցանկ

(A000040-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Գիլբերտի խնդրի ուսումնասիրման ստուգման ծրագիրը հայտնում է, որ հաշվարկվել են մինչև ${\displaystyle 10^{18}}$ բոլոր պարզ թվերը։ Դա կազմում է 24 739 954 287 740 860 պարզ թիվ, բայց դրանք չեն պահպանվել։ Գոյություն ունեն բանաձևեր, որոնք հնարավորություն են տալիս հաշվել պարզ թվերի քանակը (մինչև տրված արժեքը) ավելի արագ, քան պարզ թվերի հաշվարկը։ Այդ մեթոդը օգտագործվել է մինչև ${\displaystyle 10^{23}}$ թիվը պարզ թվերի քանակըհաշվելու համար։ Դրանց թիվը 1 925 320 391 606 803 968 923 է։

Պարզ թվեր են, որոնք հանդիսանում են ${\displaystyle n}$ թվով շարքի բաշխման թիվը։

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837. Հաջորդ թիվը 6539 նիշ ունի^[2]։ (A051131-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)

${\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+1}$ տեսքի թվերրը կոչվում են քառակուսյինհ պարզ։

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, 27361, 33391, 35317 (A002407-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

${\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+2}$ նույնպես քառակուսային պարզ են։

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, 73009, 76801, 84673, 106033, 108301, 112909, 115249

(A002648-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Պարզ թվեր, որոնք պարզ թվերի շարքում գրավում են պարզ թվերով կարգերում, այսինքն, երկրորդը, երրորդը, հինգերորդը և այլն։

Գերպարզ թվերի շարքի առաջին անդամներն են․ 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, … Последовательность OEIS:A006450 թվային շարք

2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 թվով մեկերից կազմված պարզ թվերի շարք (A004023-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Բացի միայն մեկերից կազմված պարզ թվերից բացի կարելի է նշել նաև մեկերից և զրոներից կազմված պարզ թվերը։ Առաջին տաս միլիոնի սահմաններում այդպիսին են 11, 101, 10111, 101111, 1011001, 1100101 և այլն։ (A020449-ի հաջորդականությունը OEIS-ում):

Պոլինդրոմներ են կոչվում այն թվերը, որոնք թե՛ աջից ձախ, թե՛ ձախից աջ կարդացվում են նույն ձևով, օրինակ՝30103։Դրանց թվում կան պարզ թվեր։ Պարզ է, որ յուրաքանչյուր պարզ պոլինդրոմ կազմված է կենտ թվով նիշերից ,բացառությամբ 11-ը։ Առաջին պոլինդրոմներն են ՝Я

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, …(A002385-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

P Պարզ թվերն են ,որոնց համար ${\displaystyle (p-1)!+1}$ -ը բաժանվում է ${\displaystyle p^{2}}$ առանց մնացորդի։ Վիլսոնի հայտնի պարզ թվերն են 5, 13, 563( A007540-ի հաջորդականությունը OEIS-ում) այլ Վիլսոնի պարզեր մինջև 2×10¹³ ,հայտնի չեն^[3]։

${\displaystyle (2^{n}-1)^{2}-2}$ տեսքի պարզ թվեր .

7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087 (A091516-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

${\displaystyle n2^{n}+1}$ տեսքի պարզ թվեր։

Բոլոր Կալենի պարզ թվերը համապատասխանում են ${\displaystyle n}$ -ին, որը հավասար է․

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 (A005849-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Ենթադրվում է, որ գոյություն ունի անվերջ թվով Կալենի պարզ թվեր։

${\displaystyle p}$ պարզ թվերն են, որոնց համար գոյություն ունենամբողջ ${\displaystyle x}$ և ${\displaystyle y}$ թվերը այօիսիք,որ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+p^{2}=3xyp}$ .

2, 5, 13, 29, 89, 233, 433, 1597, 2897, 5741, 7561, 28657, 33461, 43261, 96557, 426389, 514229 (A178444-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)

${\displaystyle 2^{n}-1}$ տեսքի պարզ թվերն են, առաջին 12-ը հետևյալն են․

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727(A000668-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

${\displaystyle p}$ պարզ թվերն են, որոնց կարելի ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

${\displaystyle S_{2m+1}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}}{2}}.}$

Մի քանի առաջին ՆՇՈՒ պարզ թվերն են 7, 41, 239, 9369319, 63018038201, 489133282872437279, 19175002942688032928599, 123426017006182806728593424683999798008235734137469123231828679 (A088165-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

${\displaystyle P=k\cdot 2^{n}+1}$ տեսքի պարզ թվերն են ,որտեղ ${\displaystyle k}$ կենտ է և ${\displaystyle 2^{n}>k}$ և (A080076-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

${\displaystyle p}$ պարզ թվերն են, այնպիսիք, որ ${\displaystyle 2p+1}$ նույնպես լինեն պարզ։

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953(A005384-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ տեսքի պարզ թվերն են։Հայտնի են 3, 5, 17, 257, 65537 (A019434-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Ֆիբոնաչիի F₀ = 0, F₁ = 1,F_n = F_n−1 + F_n−2 շարքի պարզ թվերն են․

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917 (A005478-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)

Такие простые числаԱյն ${\displaystyle p}$ պարզ թվերն են, որոնց ${\displaystyle p+2}$ -ըկամ պարզ է կամ կիսապարզ։

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 307, 311, 317, 337, 347, 353, 359, 379, 389, 401, 409 (A109611-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

В теории чисел числами Пелля называется бесконечная последовательность целых чисел, являющихся знаменателями подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается с 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, и 41/29, так что последовательность чисел Пелля начинается с 1, 2, 5, 12 и 29. Несколько первых простых чисел Пелля: 2, 5, 29, 5741, … (A086383-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Այս տեսքի պարզ թվերն են^[4][5]․Հավասարակշռված պարզ թվեր

2, 17, 257, 1297, 65537, 160001, 331777, 614657, 1336337, 4477457, 5308417, 8503057, 9834497, 29986577, 40960001, 45212177, 59969537, 65610001, 126247697, 193877777, 303595777, 384160001, 406586897, 562448657, 655360001 (A037896-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

Նախորդ և հաջորդ պարզ թվերի թվաբանական միջինը հանդիսացող պարզ թվերն են․

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 1753, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733, 4013, 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393 (A006562-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

${\displaystyle p}$ պարզ թվերն են, որոնց ${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$ տեսքի կոտորակի պարբերականության շարքը նման չէ որևէ այլ պարզ թվի շարքին։

3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, 900900900900990990990991(A040017-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

${\displaystyle n!\pm 1}$ տեսքի պարզ թվեր, որոնց համար ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ :

2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999 (A088054-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

${\displaystyle n^{2}+(n+1)^{2}}$ տեսքի պարզ թվերն են․

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, 4513, 5101, 7321, 8581, 9661, 9941, 10513, 12641, 13613, 14281, 14621, 15313, 16381, 19013, 19801, 20201, 21013, 21841, 23981, 24421, 26681 (A027862-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

${\displaystyle (3n^{2}+3n+2)/2}$ տեսքի պարզ թվերն են․

19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, 2341, 2971, 3529, 4621, 4789, 7039, 7669, 8779, 9721, 10459, 10711, 13681, 14851, 16069, 16381, 17659, 20011, 20359, 23251, 25939, 27541, 29191, 29611, 31321, 34429, 36739, 40099, 40591, 42589 (A125602-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

${\displaystyle (7n^{2}-7n+2)/2}$ տեսքի պարզ թվերն են․

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697, 4663, 5741, 8233, 9283, 10781, 11173, 12391, 14561, 18397, 20483, 29303, 29947, 34651, 37493, 41203, 46691, 50821, 54251, 56897, 57793, 65213, 68111, 72073, 76147, 84631, 89041, 93563 (A069099-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

${\displaystyle 5(n^{2}-n)+1}$ տեսքի պարզ թվերն են․

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, 6301, 6661, 7411, 9461, 9901, 12251, 13781, 14851, 15401, 18301, 18911, 19531, 20161, 22111, 24151, 24851, 25561, 27011, 27751 (A090562-ի հաջորդականությունը OEIS-ում).

• Генри С. Уоррен, мл. Глава 16. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker’s Delight. — М.: Вильямс, 2007. — 288 с. — ISBN 0-201-91465-4

• Списки простых и факторизованных составных чисел Արխիվացված 2015-08-10 Wayback Machine