Deligne-Kohomologie

Sei ${\displaystyle M}$ eine glatte Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \Omega _{\mathbb {C} }}$ die Garbe der komplexwertigen Differentialformen. Für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ist der Deligne-Komplex definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {D}}(n):=\operatorname {Cone} (\mathbb {Z} \oplus \sigma ^{\geq n}\Omega _{\mathbb {C} }\rightarrow \Omega _{\mathbb {C} })\left[-1\right]}$ .

Hierbei ist ${\displaystyle \sigma ^{\geq n}\Omega _{\mathbb {C} }}$ der Kokettenkomplex mit ${\displaystyle (\sigma ^{\geq n}\Omega _{\mathbb {C} })^{k}=0}$ für ${\displaystyle k<n}$ und ${\displaystyle (\sigma ^{\geq n}\Omega _{\mathbb {C} })^{k}=\Omega _{\mathbb {C} }}$ für ${\displaystyle k\geq n}$ , der Kegel ${\displaystyle \operatorname {Cone} (\mathbb {Z} \oplus \sigma ^{\geq n}\Omega _{\mathbb {C} }\rightarrow \Omega _{\mathbb {C} })}$ ist der Abbildungskegel der durch die Inklusionen von Garben ${\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \sigma ^{\geq n}\Omega _{\mathbb {C} }\rightarrow \Omega _{\mathbb {C} }}$ gegebenen Kettenabbildung und ${\displaystyle A\left[-1\right]}$ bezeichnet den Kettenkomplex mit ${\displaystyle A\left[-1\right]^{n}=A^{n-1}}$ .

Die ${\displaystyle n}$ -te Deligne-Kohomologie ist

${\displaystyle {\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} ):=H^{n}(M;{\mathcal {D}}(n))}$ .

Man beachte, dass für unterschiedliche ${\displaystyle n}$ unterschiedliche Komplexe verwendet werden.

${\displaystyle {\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )}$ passt in eine exakte Sequenz

${\displaystyle \rightarrow H^{n-1}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{dR}^{n-1}(M;\mathbb {C} )\rightarrow {\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n}(M;\mathbb {Z} )\oplus \Omega _{cl}^{n}(M;\mathbb {C} )\rightarrow H_{dR}^{n}(M;\mathbb {C} )\rightarrow }$ .

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \Omega _{cl}^{*}}$ die geschlossenen Differentialformen und ${\displaystyle H_{dR}^{*}}$ die De-Rham-Kohomologie.

Weiter ist

${\displaystyle H^{n-1}(M;\mathbb {C} /\mathbb {Z} )\simeq \ker({\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow \Omega _{cl}^{n}(M))}$

und die Komposition

${\displaystyle H^{n-1}(M;\mathbb {C} /Z)\rightarrow {\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n}(M;\mathbb {Z} )}$

ist das negative des Bockstein-Homomorphismus der kurzen exakten Sequenz ${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} /\mathbb {Z} \rightarrow 0}$ .

Insbesondere gilt für ${\displaystyle (n-1)}$ -dimensionale, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeiten:

${\displaystyle {\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\simeq H_{dR}^{n-1}(M;\mathbb {C} )/\operatorname {im} (H^{n-1}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n-1}(M;\mathbb {C} ))\simeq \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$ .

Es gibt ein eindeutig bestimmtes Produkt ${\displaystyle \cup }$ , so dass ${\displaystyle {\hat {H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb {Z} )}$ zu einem gradierten kommutativen Ring mit folgenden Eigenschaften wird:

• für jede glatte Abbildung ${\displaystyle f\colon M^{\prime }\rightarrow M}$ ist ${\displaystyle f^{*}\colon {\hat {H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow {\hat {H}}_{Del}^{*}(M^{\prime };\mathbb {Z} )}$ ein Ringhomomorphismus
• für alle ${\displaystyle M}$ ist ${\displaystyle R\colon {\hat {H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow \Omega _{cl}^{*}(M;\mathbb {C} )}$ ein Ringhomomorphismus
• für alle ${\displaystyle M}$ ist ${\displaystyle I\colon {\hat {H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{*}(M;\mathbb {Z} )}$ ein Ringhomomorphismus
• für ${\displaystyle a\colon H_{dR}^{*-1}(M;\mathbb {C} )\rightarrow {\hat {H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb {Z} )}$ und für alle ${\displaystyle x\in {\hat {H}}_{Del}^{*}(M;\mathbb {Z} ),\alpha \in H_{dR}^{*}(M;\mathbb {C} )}$ gilt

${\displaystyle a(\alpha )\cup x=a(\alpha \wedge R(x))}$ .

Hierbei sind ${\displaystyle R,I,a}$ die Homomorphismen aus der obigen langen exakten Sequenz.

Jedem komplexen Vektorbündel ${\displaystyle V}$ mit Zusammenhangsform ${\displaystyle \nabla }$ über einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ kann man (auf für Bündelabbildungen natürliche Weise) Klassen${\displaystyle {\hat {c}}_{i}(\nabla )\in {\hat {H}}_{Del}^{2i}(M;\mathbb {Z} )}$ zuordnen, so dass der Homomorphismus (aus der obigen exakten Sequenz)

${\displaystyle {\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n}(M;\mathbb {Z} )\oplus \Omega _{cl}^{n}(M;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\hat {c}}_{i}(\nabla )}$ auf ${\displaystyle (c_{i}(V),c_{i}(\nabla ))}$ abbildet, wobei ${\displaystyle c_{i}(\nabla )}$ die ${\displaystyle i}$ -te Chernform und ${\displaystyle c_{i}(V)}$ die ${\displaystyle i}$ -te Chernklasse – deren Bild in ${\displaystyle H^{2i}(M;\mathbb {C} )}$ gerade die De-Rham-Kohomologieklasse von ${\displaystyle c_{i}(\nabla )}$ ist – bezeichnet.

Falls ${\displaystyle \nabla }$ ein flacher Zusammenhang auf einem trivialisierbaren Vektorbündel ist, erhält man

${\displaystyle {\hat {c}}_{i}(\nabla )\in \ker({\hat {H}}_{Del}^{n}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n}(M;\mathbb {Z} )\oplus \Omega _{cl}^{n}(M;\mathbb {C} )\simeq H_{dR}^{n-1}(M;\mathbb {C} )/\operatorname {im} (H^{n-1}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n-1}(M;\mathbb {C} ))}$ .

Falls zusätzlich ${\displaystyle \dim(M)=n-1}$ ist, definiert

${\displaystyle {\hat {c}}_{i}(\nabla )\in H_{dR}^{n-1}(M;\mathbb {C} )/\operatorname {im} (H^{n-1}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H^{n-1}(M;\mathbb {C} ))\simeq \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$

die Chern-Simons-Invariante von ${\displaystyle \nabla }$ .

Für ein reelles Vektorbündel mit Zusammenhang ${\displaystyle \nabla }$ definiere

${\displaystyle {\hat {p}}_{i}(\nabla ):=(-1)^{i}{\hat {c}}_{2i}(\nabla \otimes \mathbb {C} )\in {\hat {H}}_{Del}^{4i}(M;\mathbb {Z} )}$ .

Für eine ${\displaystyle (4n-1)}$ -dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g)}$ betrachte den Levi-Civita-Zusammenhang ${\displaystyle \nabla }$ und definiere die (Riemannsche) Chern-Simons-Invariante durch

${\displaystyle CS(M,g):={\hat {p}}_{n}(\nabla )\in {\hat {H}}_{Del}^{4n}(M;\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$ .

${\displaystyle CS(M,g)}$ ist eine konforme Invariante.

• Ulrich Bunke: Differential Cohomology. (PDF; 1,4 MB)

• nLab: Deligne cohomology