Ο εγγεγραμμένος κύκλος και οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} Στη γεωμετρία , σε ένα τρίγωνο ο εγγεγραμμένος κύκλος ( I , ρ ) {\displaystyle (\mathrm {I} ,\rho )} κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στις τρεις πλευρές του. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του και ονομάζεται έγκεντρο .[1] :80-89 [2] :143-145 [3] :35-36 [4] :12-13
Κάθε τρίγωνο έχει επίσης τρεις παρεγγεγραμμένους κύκλους ( J A , ρ A ) {\displaystyle (\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })} ( J B , ρ B ) {\displaystyle (\mathrm {J_{B}} ,\rho _{\mathrm {B} })} ( J Γ , ρ Γ ) {\displaystyle (\mathrm {J_{\Gamma }} ,\rho _{\mathrm {\Gamma } })} ( J A , ρ A ) {\displaystyle (\mathrm {J_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })} A ^ {\displaystyle {\hat {\rm {A}}}} εξωτερικών διχοτόμων των B ^ {\displaystyle {\hat {\rm {B}}}} Γ ^ {\displaystyle {\hat {\rm {\Gamma }}}} παράκεντρο .
Θεώρημα — Οι εσωτερικές διχοτόμοι A Δ A , B Δ B , Γ Δ Γ {\displaystyle {\rm {A\Delta _{A},B\Delta _{B},\Gamma \Delta _{\Gamma }}}}
Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.
Το έγκεντρο I {\displaystyle {\rm {I}}} Η γωνία των διχοτόμων των B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} 90 o + A ^ 2 {\displaystyle 90^{o}+{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}} [1] : 85 Αν I A , I B , I Γ {\displaystyle {\rm {I_{A},I_{B},I_{\Gamma }}}} I {\displaystyle {\rm {I}}} B I A = B I Γ = τ − β , A I B = A I Γ = τ − α , {\displaystyle {\rm {BI_{A}=BI_{\Gamma }=\tau -\beta ,\quad AI_{B}=AI_{\Gamma }=\tau -\alpha ,\quad }}} Γ I A = Γ I B = τ − γ {\displaystyle \quad {\rm {\Gamma I_{A}=\Gamma I_{B}=\tau -\gamma }}} Το τρίγωνο I A I B I Γ {\displaystyle {\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}} τρίγωνο Gergonne . (Σημείο Gergonne A I A , B I B , Γ I Γ {\displaystyle {\rm {AI_{A},BI_{B},\Gamma I_{\Gamma }}}} [3] : 36 Οι ευθείες I A , I B , I Γ {\displaystyle {\rm {IA,IB,I\Gamma }}} μεσοκάθετοι των πλευρών του I A I B I Γ {\displaystyle {\rm {I_{A}I_{B}I_{\Gamma }}}} Το εμβαδόν του τριγώνου A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} [5] :126 E = τ ⋅ ρ {\displaystyle \mathrm {E} =\tau \cdot \rho } όπου τ = 1 2 ⋅ ( α + β + γ ) {\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )} ημιπερίμετρος του τριγώνου. ρ = ( τ − α ) ⋅ ( τ − β ) ⋅ ( τ − γ ) τ {\displaystyle \rho ={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau }}}} ρ = α ⋅ sin B 2 ⋅ sin Γ 2 cos A 2 = β ⋅ sin Γ 2 ⋅ sin A 2 cos B 2 = γ ⋅ sin A 2 ⋅ sin B 2 cos Γ 2 {\displaystyle \rho =\alpha \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {B}}{2}}\cdot \sin {\frac {\Gamma }{2}}}{\cos {\frac {\rm {A}}{2}}}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}\cdot \sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {\rm {B}}{2}}}}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\frac {\rm {A}}{2}}\cdot \sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}}} και από ρ = ( τ − α ) ⋅ tan A 2 = ( τ − β ) ⋅ tan B 2 = ( τ − γ ) ⋅ tan Γ 2 {\displaystyle \rho =(\tau -\alpha )\cdot \tan {\frac {\rm {A}}{2}}=(\tau -\beta )\cdot \tan {\frac {\rm {B}}{2}}=(\tau -\gamma )\cdot \tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}} O I 2 = R 2 − 2 R ρ {\displaystyle \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho } (Θεώρημα Καρνό O M A , O M B , O M Γ {\displaystyle {\rm {OM_{A},OM_{B},OM_{\Gamma }}}} A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} R {\displaystyle R} O M A + O M B + O M Γ = R + ρ {\displaystyle {\rm {OM_{A}+OM_{B}+OM_{\Gamma }}}=R+\rho } Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι 1 : 1 : 1 {\displaystyle 1:1:1} Οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι α : β : γ {\displaystyle \alpha :\beta :\gamma } Οι καρτεσιανές συντεταγμένες του έγκεντρου είναι ( α ⋅ x A + β ⋅ x B + γ ⋅ x Γ α + β + γ , α ⋅ y A + β ⋅ y B + γ ⋅ y Γ α + β + γ ) {\displaystyle \left({\frac {\alpha \cdot x_{\rm {A}}+\beta \cdot x_{\rm {B}}+\gamma \cdot x_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }},{\frac {\alpha \cdot y_{\rm {A}}+\beta \cdot y_{\rm {B}}+\gamma \cdot y_{\rm {\Gamma }}}{\alpha +\beta +\gamma }}\right)} Κάθε τρίγωνο A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} ( J A , ρ A ) {\displaystyle ({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})} ( J B , ρ B ) {\displaystyle ({\rm {J_{B}}},\rho _{\rm {B}})} ( J Γ , ρ Γ ) {\displaystyle ({\rm {J_{\Gamma }}},\rho _{\rm {\Gamma }})} ( J A , ρ A ) {\displaystyle ({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})} B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} ( J A , ρ A ) {\displaystyle ({\rm {J_{A}}},\rho _{\rm {A}})} B Γ , A B , A Γ {\displaystyle {\rm {B\Gamma ,AB,A\Gamma }}} I A ′ , I A ″ , I A ‴ {\displaystyle {\rm {I_{A}',I_{A}'',I_{A}'''}}}
Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι του τριγώνου A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} Έστω J Γ ′ {\displaystyle {\rm {J_{\Gamma }'}}} A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}} B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} J A I A ″ = J A I A ′ {\displaystyle {\rm {J_{A}I_{A}''=J_{A}I_{A}'}}} J A I A ‴ = J A I A ′ {\displaystyle {\rm {J_{A}I_{A}'''=J_{A}I_{A}'}}} J A I A ″ = J A I A ‴ {\displaystyle {\rm {J_{A}I_{A}''=J_{A}I_{A}'''}}} I A ′ {\displaystyle {\rm {I_{A}'}}} A ^ {\displaystyle {\rm {\hat {A}}}}
Τα παράκεντρα J A , J B , J Γ {\displaystyle {\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}} Τα σημεία A , J B , J Γ {\displaystyle {\rm {A,J_{B},J_{\Gamma }}}} J A , B , J Γ {\displaystyle {\rm {J_{A},B,J_{\Gamma }}}} J A , J B , Γ {\displaystyle {\rm {J_{A},J_{B},\Gamma }}} Η γωνία των εξωτερικών διχοτόμων των B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} 90 o − A ^ 2 {\displaystyle 90^{o}-{\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}} [1] : 85 Η γωνία της εσωτερικής διχοτόμου της B ^ {\displaystyle {\rm {\hat {B}}}} Γ ^ {\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}} A ^ 2 {\displaystyle {\tfrac {\hat {\rm {A}}}{2}}} [1] : 85 (Σημείο Gergonne A I A ′ , B I B ′ , Γ I Γ ′ {\displaystyle {\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}} [3] : 36 Ισχύει ότι A I B ′ = A I B ″ = B I A ′ = B I A ″ = τ − γ {\displaystyle {\rm {AI_{B}'=AI_{B}''=BI_{A}'=BI_{A}''=\tau -\gamma }}} A I Γ ′ = A I Γ ″ = Γ I A ′ = Γ I A ″ = τ − β {\displaystyle {\rm {AI_{\Gamma }'=AI_{\Gamma }''=\Gamma I_{A}'=\Gamma I_{A}''=\tau -\beta }}} B I Γ ′ = B I Γ ″ = Γ I B ′ = Γ I B ″ = τ − γ {\displaystyle {\rm {BI_{\Gamma }'=BI_{\Gamma }''=\Gamma I_{B}'=\Gamma I_{B}''=\tau -\gamma }}} τ = 1 2 ⋅ ( α + β + γ ) {\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )} ημιπερίμετρος .[1] : 86-87 Αν A ′ {\displaystyle {\rm {A'}}} A I {\displaystyle {\rm {AI}}} περιγεγραμμένο κύκλο , τότε[1] : 85 A ′ B = A ′ I = A ′ Γ = A ′ I A {\displaystyle {\rm {A'B=A'I=A'\Gamma =A'I_{A}}}} O J A 2 = R 2 + 2 R ρ A , O J B 2 = R 2 + 2 R ρ B {\displaystyle \mathrm {OJ_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad \mathrm {OJ_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} }\quad } O J Γ 2 = R 2 + 2 R ρ Γ {\displaystyle \quad \mathrm {OJ_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }} Το εμβαδόν του τριγώνου A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} [3] : 45 E = ( τ − α ) ⋅ ρ A = ( τ − β ) ⋅ ρ B = ( τ − γ ) ⋅ ρ Γ , {\displaystyle {\rm {E=(\tau -\alpha )\cdot \rho _{\rm {A}}=(\tau -\beta )\cdot \rho _{\rm {B}}=(\tau -\gamma )\cdot \rho _{\rm {\Gamma }},}}} και E = ρ ⋅ ρ A ⋅ ρ B ⋅ ρ Γ {\displaystyle {\rm {E={\sqrt {\rho \cdot \rho _{\rm {A}}\cdot \rho _{\rm {B}}\cdot \rho _{\rm {\Gamma }}}}}}} ρ A = E τ − α = τ ⋅ ( τ − β ) ⋅ ( τ − γ ) τ − α , {\displaystyle \rho _{\mathrm {A} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\alpha }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau -\alpha }}},} ρ B = E τ − β = τ ⋅ ( τ − γ ) ⋅ ( τ − α ) τ − β {\displaystyle \quad \rho _{\mathrm {B} }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\beta }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\alpha )}{\tau -\beta }}}\quad } ρ Γ = E τ − γ = τ ⋅ ( τ − α ) ⋅ ( τ − β ) τ − γ {\displaystyle \rho _{\mathrm {\Gamma } }={\frac {\mathrm {E} }{\tau -\gamma }}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )}{\tau -\gamma }}}} Επίσης, οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις τριγωνομετρικές σχέσεις[7] :264 [3] : 46-47 [5] : 127 ρ A = α ⋅ cos B 2 ⋅ cos Γ 2 cos A 2 {\displaystyle \rho _{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {B}}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}{\cos {\frac {\rm {A}}{2}}}}} ρ B = β ⋅ cos Γ 2 ⋅ cos A 2 cos B 2 {\displaystyle \quad \rho _{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\cos {\frac {\Gamma }{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {A}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {B}}{2}}}}\quad } ρ Γ = γ ⋅ cos A 2 ⋅ cos B 2 cos Γ 2 {\displaystyle \quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\cos {\frac {\rm {A}}{2}}\cdot \cos {\frac {\rm {B}}{2}}}{\cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}}} και επίσης ρ A = τ ⋅ tan A 2 {\displaystyle \rho _{\rm {A}}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {A}}{2}}} ρ B = τ ⋅ tan B 2 {\displaystyle \quad \rho _{\rm {B}}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {B}}{2}}\quad } ρ Γ = τ ⋅ tan Γ 2 {\displaystyle \quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}} (Σημείο Νάγκελ I A ′ , I B ′ , I Γ ′ {\displaystyle {\rm {I_{A}',I_{B}',I_{\Gamma }'}}} J A , J B , J Γ {\displaystyle {\rm {J_{A},J_{B},J_{\Gamma }}}} A Γ , B Γ , A B {\displaystyle {\rm {A\Gamma ,B\Gamma ,AB}}} A I A ′ , B I B ′ , Γ I Γ ′ {\displaystyle {\rm {AI_{A}',BI_{B}',\Gamma I_{\Gamma }'}}} Οι εσωτερικές διχοτόμοι του τριγώνου A B Γ {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} ύψη του τριγώνου J A J B J Γ {\displaystyle {\rm {J_{A}J_{B}J_{\Gamma }}}} Αν R {\displaystyle R} ρ A + ρ B + ρ Γ = ρ + 4 R {\displaystyle \rho _{\rm {A}}+\rho _{\rm {B}}+\rho _{\rm {\Gamma }}=\rho +4R} [1] : 87 Οι τριγραμμικές συντεταγμένες των παρακέντρων είναι − 1 : 1 : 1 {\displaystyle -1:1:1} 1 : − 1 : 1 {\displaystyle 1:-1:1} 1 : 1 : − 1 {\displaystyle 1:1:-1} 
.
είναι σημείο εσωτερικό του τριγώνου.
και 
είναι ίση με 
.[1]: 85 
οι προβολές του 
και 
.
ονομάζεται το τρίγωνο Gergonne.
διέρχονται από το ίδιο σημείο.[3]: 36 
είναι μεσοκάθετοι των πλευρών του 
,
είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.
.
,
.
είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, τότε
.
είναι οι προσημασμένες αποστάσεις του περίκεντρου από τις πλευρές του τριγώνου 
η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε
.
.
.
.
είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου.
είναι συνευθειακά, καθώς και τα 
και 
.
.[1]: 85 
.[1]: 85 
διέρχονται από το ίδιο σημείο.[3]: 36 
, 
και 
, όπου 
το σημείο τομής της προέκτασης της 
με τον περιγεγραμμένο κύκλο, τότε[1]: 85 
.
και 
.
.
και 
.
, 
και 
,
, 
και 
.
τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με κέντρα 
του τριγώνου, τότε τα 
.
.[1]: 87 
, 
και 
αντίστοιχα.