Je matematiko, ĉenkomplekso estas ĉeno da moduloj, kunligita per vico da linearaj bildigoj (la diferencialoj), kies apudparaj komponaĵoj estas nul.
Se
estas komuta ringo, do ĉenkomplekso super
konsistas el la jena dateno:
- Por ĉiu entjero
, modulo
super
. Tiu estas la komponanto de grado
de la ĉenkomplekso. - Por ĉiu entjero
, lineara bildigo (modula homomorfio)
. Tiu estas la diferencialo de la ĉenkomplekso.
La dateno devas plenumi la jenan aksiomon:
- (nulkvadrateco de diferencialo) Por ĉiu entjero
,
.
Elemento de
nomiĝas ĉeno de grado
, aŭ
-ĉeno.
Simile, koĉenkomplekso super
konsistas el la jena dateno:
- Por ĉiu entjero
, modulo
super
. Tiu estas la komponanto de grado
de la ĉenkomplekso. - Por ĉiu entjero
, lineara bildigo (modula homomorfio)
. Tiu estas la diferencialo de la ĉenkomplekso.
La dateno devas plenumi la jenan aksiomon:
- (nulkvadrateco de diferencialo) Por ĉiu entjero
,
.
Elemento de
nomiĝas koĉeno de grado
, aŭ
-koĉeno.
La konceptoj de ĉenkompleksoj kaj koĉenkompleksoj estas esence ekvivalentaj; la nura diferenco estas la mala numerado de la komponantoj. Oni elektas unu el ka du ebloj tiel ke la grado kongruas kun alia, "natura" grado. Ekzemple, en singulara homologio, la grado de la ĉenkomplekso akordas kun la dimensio de la simpleksoj; en kohomologio de de Rham, la grado de la koĉenkomplekso akordas kun la grado de la diferencialaj formoj, kiuj estas la koĉenoj.
Ordinare, indicoj de ĉenkompleksoj estas subaj, dum tiuj de la koĉenkompleksoj estas supraj.
La homologio de ĉenkomplekso
estas la jena ĉenkomplekso
.
- La komponanto
estas la kvocienta modulo
, en kiu
estas la kerno de
, kaj
estas la bildo de
. - Ĉiuj diferencialoj estas nul.
Analoge, la kohomologio de koĉenkomplekso
estas la jena ĉenkomplekso
.
- La komponanto
estas la kvocienta modulo
, en kiu
estas la kerno de
, kaj
estas la bildo de
. - Ĉiuj diferencialoj estas nul.