Ĉenkomplekso

Se ${\displaystyle K}$ estas komuta ringo, do ĉenkomplekso super ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (M_{i},\partial _{i})_{i\in \mathbb {Z} }}$ konsistas el la jena dateno:

• Por ĉiu entjero ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ , modulo ${\displaystyle M_{i}}$ super ${\displaystyle K}$ . Tiu estas la komponanto de grado ${\displaystyle i}$ de la ĉenkomplekso.
• Por ĉiu entjero ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ , lineara bildigo (modula homomorfio) ${\displaystyle \partial _{i}\colon M_{i}\to M_{i-1}}$ . Tiu estas la diferencialo de la ĉenkomplekso.

La dateno devas plenumi la jenan aksiomon:

• (nulkvadrateco de diferencialo) Por ĉiu entjero ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ , ${\displaystyle \partial _{i-1}\circ \partial _{i}=0}$ .

Elemento de ${\displaystyle M_{i}}$ nomiĝas ĉeno de grado ${\displaystyle k}$ , aŭ ${\displaystyle k}$ -ĉeno.

Simile, koĉenkomplekso super ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (M^{i},\partial ^{i})_{i\in \mathbb {Z} }}$ konsistas el la jena dateno:

• Por ĉiu entjero ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ , modulo ${\displaystyle M^{i}}$ super ${\displaystyle K}$ . Tiu estas la komponanto de grado ${\displaystyle i}$ de la ĉenkomplekso.
• Por ĉiu entjero ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ , lineara bildigo (modula homomorfio) ${\displaystyle \partial ^{i}\colon M^{i}\to M^{i+1}}$ . Tiu estas la diferencialo de la ĉenkomplekso.

La dateno devas plenumi la jenan aksiomon:

• (nulkvadrateco de diferencialo) Por ĉiu entjero ${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$ , ${\displaystyle \partial ^{i+1}\circ \partial ^{i}=0}$ .

Elemento de ${\displaystyle M_{i}}$ nomiĝas koĉeno de grado ${\displaystyle k}$ , aŭ ${\displaystyle k}$ -koĉeno.

La konceptoj de ĉenkompleksoj kaj koĉenkompleksoj estas esence ekvivalentaj; la nura diferenco estas la mala numerado de la komponantoj. Oni elektas unu el ka du ebloj tiel ke la grado kongruas kun alia, "natura" grado. Ekzemple, en singulara homologio, la grado de la ĉenkomplekso akordas kun la dimensio de la simpleksoj; en kohomologio de de Rham, la grado de la koĉenkomplekso akordas kun la grado de la diferencialaj formoj, kiuj estas la koĉenoj.

Ordinare, indicoj de ĉenkompleksoj estas subaj, dum tiuj de la koĉenkompleksoj estas supraj.

Homologio

La homologio de ĉenkomplekso ${\displaystyle (M_{i},\partial _{i})_{i\in \mathbb {Z} }}$ estas la jena ĉenkomplekso ${\displaystyle (\operatorname {H} _{\bullet }(M),0)}$ .

• La komponanto ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(M)}$ estas la kvocienta modulo ${\displaystyle \ker \partial _{i}/\operatorname {im} \partial _{i-1}}$ , en kiu ${\displaystyle \ker \partial _{i}=\{m\in M_{i}\colon \partial _{i}m=0\}}$ estas la kerno de ${\displaystyle \partial _{i}}$ , kaj ${\displaystyle \operatorname {im} \partial _{i}=\{\partial _{i-1}(m)\colon m\in M_{i-1}\}}$ estas la bildo de ${\displaystyle \partial _{i-1}}$ .
• Ĉiuj diferencialoj estas nul.

Analoge, la kohomologio de koĉenkomplekso ${\displaystyle (M^{i},\partial ^{i})_{i\in \mathbb {Z} }}$ estas la jena ĉenkomplekso ${\displaystyle (\operatorname {H} ^{\bullet }(M),0)}$ .

• La komponanto ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(M)}$ estas la kvocienta modulo ${\displaystyle \ker \partial ^{i}/\operatorname {im} \partial ^{i+1}}$ , en kiu ${\displaystyle \ker \partial ^{i}=\{m\in M^{i}\colon \partial ^{i}m=0\}}$ estas la kerno de ${\displaystyle \partial ^{i}}$ , kaj ${\displaystyle \operatorname {im} \partial ^{i}=\{\partial ^{i-1}(m)\colon m\in M^{i+1}\}}$ estas la bildo de ${\displaystyle \partial ^{i+1}}$ .
• Ĉiuj diferencialoj estas nul.

• Eric W. Weisstein, Chain complex en MathWorld.
• Complex (in homological algebra) (angle). Eŭropa Matematika Societo, Springer-Verlag.