| Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját! |
A matematikában valamely függvény szélsőértékének nevezzük értelmezési tartományának valamely nyílt halmazzal vett metszetére vett leszűkítésének értékkészletének, illetve annak abszolútértékének maximumát és minimumát.
Valós függvény szélsőértéke
Globális szélsőérték
Ha f valósokon értelmezett valósértékű függvény, akkor f globális vagy abszolút szélsőértékeinek nevezzük értelmezési tartományának maximumát illetve minimumát.
Pl.: a
függvény maximuma az 1, amit az
helyeken vesz fel, és minimuma -1, amit pedig az
helyeken vesz fel.
Weierstrass-tétel
Weierstrass tétele kimondja, hogy minden korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek létezik mindkét abszolút szélsőértéke.
Lokális szélsőérték
y f függvény lokális vagy helyi szélsőértéke, ha létezik olyan
nyílt halmaz, f-nek amire vett leszűkítésének y abszolút szélsőértéke.
Pl.:
lokális minimuma 0 a 0 helyen.
Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges feltétele
Egy Fermat-tól származó tétel kimondja, hogy differenciálható függvény helyi szélsőértékéhez húzott érintő párhuzamos az abszcissza-tengellyel, azaz, ha f teljes értelmezési tartományában differenciálható, akkor lokális szélsőértékeit csak azokon az x helyeken veheti fel, ahol
.
Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges és elegendő feltétele
Legyen
-edik deriváltja
egy
környezetében folytonos, és
, továbbá
. Ekkor
helyen pontosan akkor veszi fel lokális szélsőértékét, ha
páros, mégpedig, és ha létezik szélsőérték, abban az esetben, ha
, minimuma van, ellenkező esetben pedig maximuma.
Bizonyítás
A Taylor-formula szerint
minden
pontjához létezik olyan
, hogy
, azaz![{\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {f^{(n)}(x+\Theta h)}{n!}}h^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f36021dfa291b4f884e5230652f6c59016c3e3d2)
Legyen
, ekkor
folytonossága miatt létezik olyan
, hogy minden
-ra
. Tegyük fel, hogy
páros,
, és
, ekkor
, azaz
, következésképp
-nek
helyen lokális minimuma van. Ha
páratlan, akkor, ha
, akkor
, ha viszont
, akkor
így
helyen a függvénynek nincs szélsőértéke.
esetben a maximum létezése, ill. nem létezése nagyon hasonlóan látható be.