Dominio lipschitziano

In matematica, un dominio lipschitziano o dominio a frontiera lipschitziana è un sottoinsieme aperto e connesso di uno spazio euclideo la cui frontiera è "sufficientemente regolare", nel senso che può essere pensato essere localmente come il grafico di una funzione lipschitziana. Il termine deriva dal matematico tedesco Rudolf Lipschitz.

Molti teoremi di immersione di Sobolev richiedono che il dominio in esame sia lipschitziano; di conseguenza molte equazioni alle derivate parziali e problemi variazionali vengono studiati su domini lipschitziani.

Definizionemodifica wikitesto

Sia ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle \Omega }$ un sottoinsieme aperto e limitato di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Sia ${\displaystyle \partial \Omega }$ la frontiera di ${\displaystyle \Omega }$. Allora ${\displaystyle \partial \Omega }$ viene definita frontiera lipschitziana ed ${\displaystyle \Omega }$ dominio lipschitziano se per ogni punto ${\displaystyle p\in \partial \Omega }$ esiste un raggio ${\displaystyle r>0}$ ed una mappa ${\displaystyle h_{p}:B_{r}(p)\to Q}$ tale che:

• ${\displaystyle h_{p}}$ è una biezione
• ${\displaystyle h_{p}}$ e ${\displaystyle h_{p}^{-1}}$ sono entrambe lipschitziane
• ${\displaystyle h_{p}(\partial \Omega \cap B_{r}(p))=Q_{0}}$
• ${\displaystyle h_{p}(\Omega \cap B_{r}(p))=Q_{+}}$

dove:

${\displaystyle B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|\|x-p\|<r\}}$

denota la palla n-dimensionale di raggio ${\displaystyle r}$ attorno a ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle Q}$ denota la palla unitaria ${\displaystyle B_{1}(0)}$ e:

${\displaystyle Q_{0}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in Q|x_{n}=0\}}$

${\displaystyle Q_{+}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in Q|x_{n}>0\}}$

Bibliografiamodifica wikitesto

• (EN) Dacorogna, B., Introduction to the Calculus of Variations, Imperial College Press, London, 2004, ISBN 1-86094-508-2.

Voci correlatemodifica wikitesto

• Frontiera (topologia)
• Funzione lipschitziana
• Grafico di una funzione

Collegamenti esternimodifica wikitesto

• (EN) Ronald H.W. Hoppe - Finite Element Methods - Chapter 2 (PDF), su math.uh.edu.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
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Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
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Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

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