Disuguaglianza

La disuguaglianza in senso largo si indica con le scritture equivalenti ${\displaystyle a\geqslant b}$ e ${\displaystyle b\leqslant a}$ , che si leggono "${\displaystyle a}$ è maggiore o uguale a ${\displaystyle b}$ " e "${\displaystyle b}$ è minore o uguale ad ${\displaystyle a}$ ".

La disuguaglianza in senso stretto si indica invece le scritture equivalenti ${\displaystyle a>b}$ e ${\displaystyle b<a}$ , lette "${\displaystyle a}$ è maggiore di ${\displaystyle b}$ " e "${\displaystyle b}$ è minore di ${\displaystyle a}$ ".

Questa notazione può essere confusa con la notazione graficamente simile ${\displaystyle a\gg b}$ (o ${\displaystyle b\ll a}$ ), utilizzata con due diversi significati: sia per indicare che un numero è sufficientemente più grande di un altro ("${\displaystyle a}$ è molto maggiore di ${\displaystyle b}$ "), sia per indicare che una funzione è asintoticamente più grande di un'altra ("${\displaystyle a}$ domina ${\displaystyle b}$ "). In entrambi i casi non è una disuguaglianza, ma solamente una relazione d'ordine parziale, ovvero può non permettere di confrontare tra loro due distinti elementi dell'insieme.

Ordine totale

Una relazione d'ordine (larga o stretta) definita in un insieme è totale se, considerati due qualsiasi elementi dell'insieme ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ distinti tra loro, risulta sempre che ${\displaystyle a}$ è in relazione con ${\displaystyle b}$ , oppure che ${\displaystyle b}$ è in relazione con ${\displaystyle a}$ ^[2].

Una relazione d'ordine non totale è chiamata relazione d'ordine parziale.

Per esempio nell'insieme ${\displaystyle I=\left\{2,3,6,9,18\right\}}$ la relazione "${\displaystyle a<b}$ " è totale perché è possibile mettere a confronto tutti gli elementi dell'insieme. Se invece si considera, nello stesso insieme, la relazione "${\displaystyle a}$ multiplo di ${\displaystyle b}$ ", questa è una relazione parziale perché per esempio ${\displaystyle 9}$ non è un multiplo di ${\displaystyle 2}$ .

Antisimmetria e tricotomia

Se la disuguaglianza è stretta, allora vale la proprietà di tricotomia:

${\displaystyle \forall a,b}$ vale una e una sola delle tre relazioni ${\displaystyle a>b,\;\;\;a<b,\;\;\;a=b}$ .

Se la disuguaglianza è larga, allora vale l'antisimmetria:

${\displaystyle \forall a,b\qquad a\leqslant b\quad {\text{e}}\quad b\leqslant a\implies a=b}$ .

Somma e sottrazione

Le disuguaglianze vengono preservate se ad entrambi i termini viene aggiunto o sottratto uno stesso numero^[3]:

• per ogni tre numeri reali ${\displaystyle a,b}$ e ${\displaystyle c}$ sono equivalenti: ${\displaystyle a>b}$ , ${\displaystyle \;\;\;a+c>b+c}$ , ${\displaystyle \;\;\;a-c>b-c}$ .

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Questa proprietà indica che confrontare due numeri ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ è equivalente a verificare se la loro differenza ${\displaystyle a-b}$ è positiva o negativa, ovvero a confrontare ${\displaystyle a-b}$ e ${\displaystyle 0}$ . Inoltre ${\displaystyle a>0}$ equivale a ${\displaystyle -a<0}$ , così come ${\displaystyle a>b}$ equivale a ${\displaystyle -a<-b}$ .

Questa proprietà in generale descrive i gruppi ordinati.

Moltiplicazione e divisione

Le disuguaglianze vengono preservate se entrambi i termini vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero strettamente positivo. Moltiplicando o dividendo per un numero strettamente negativo, invece, le disuguaglianze si scambiano:

• per ogni terna di numeri reali ${\displaystyle a,b}$ e ${\displaystyle c}$ ,
  • se ${\displaystyle c>0}$ allora sono equivalenti: ${\displaystyle a>b}$ , ${\displaystyle \;\;\;ac>bc}$ , ${\displaystyle \;\;\;{\frac {a}{c}}>{\frac {b}{c}}}$ ;
  • se ${\displaystyle c<0}$ allora sono equivalenti: ${\displaystyle a>b}$ , ${\displaystyle \;\;\;ac<bc}$ , ${\displaystyle \;\;\;{\frac {a}{c}}<{\frac {b}{c}}}$ .

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Per la precedente proprietà, la seconda riga equivale alla prima, scrivendo ${\displaystyle -c}$ al posto di ${\displaystyle c}$ .

Queste proprietà in generale descrivono gli anelli ordinati e i campi ordinati (o campi reali).

Funzioni monotone

Le disuguaglianze sono alla base della definizione delle funzioni monotòne: le funzioni che conservano o invertono l'ordinamento dei numeri reali, quindi le disuguaglianze, sono funzioni monotone crescenti o decrescenti.
In particolare, le funzioni monotone in senso stretto "mantengono" le disuguaglianze in senso stretto; invece una funzione monotona in senso largo fornisce solamente disuguaglianze in senso largo.

A volte si abusa della notazione per la disuguaglianza, scrivendo ${\displaystyle f>0}$ anche quando ${\displaystyle f}$ è una funzione a valori reali. Con questa notazione si intende che ${\displaystyle f}$ assume solo valori strettamente positivi, ovvero che ${\displaystyle f(x)>0}$ per ogni ${\displaystyle x}$ nel dominio di ${\displaystyle f}$ . In questo caso si parla si segno di una funzione o, equivalentemente, di insieme di positività di una funzione. Nello stesso modo, ${\displaystyle f>g}$ indica che ${\displaystyle f-g>0}$ , ovvero che ${\displaystyle f(x)>g(x)}$ per ogni ${\displaystyle x}$ nel comune dominio di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ . Lo stesso capita con la disuguaglianza in senso largo. Quando il dominio delle funzioni non viene specificato, si parla di disequazione.

Alcune "famose" disuguaglianze in matematica sono elencate di seguito.

• disuguaglianza triangolare
• disuguaglianza delle medie
• disuguaglianza di Bernoulli
• disuguaglianza di Bernstein
• disuguaglianza di Bessel
• disuguaglianze di Boole e di Bonferroni
• disuguaglianza di Cantelli
• disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
• disuguaglianza di Čebyšëv
• disuguaglianza di Cramér-Rao
• disuguaglianza di Hoeffding
• disuguaglianza di Hölder
• disuguaglianza di Minkowski
• disuguaglianza di Ono
• disuguaglianza di Pedoe
• disuguaglianza di Schur
• disuguaglianza di Weitzenböck

• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7.

• Relazione binaria
• Insieme parzialmente ordinato
• Disequazione

• Wikiquote contiene citazioni sulla disuguaglianza
• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «disuguaglianza»
• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla disuguaglianza

• (EN) inequality, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Disuguaglianza, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Disuguaglianza, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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