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n 次の特殊ユニタリ群(とくしゅユニタリぐん、英語: special unitary group)SU(n) とは、行列式が1の n 次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。
特殊ユニタリ群 SU(n) はユニタリ群 U(n) の部分群であり、さらに一般線型群 GL(n, C)の部分群である。
特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ=サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。
定義
![{\displaystyle \mathrm {SU} (n)=\{g\in U(n);\det g=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ec8589afd8d91ffd3e5c17e9075bb15c905fdf)
ここで U(n) はユニタリ群、 det は行列式である。
性質
特殊ユニタリ群 SU(n) は、以下のような性質を満たす。
生成子
SU(n) の生成子 T は、トレースが 0 のエルミート行列で表現される。
![{\displaystyle \mathrm {tr} \,T_{a}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603bf8e0f80f3e315fa75886f553ec8b0d4d9915)
![{\displaystyle T_{a}^{\dagger }=T_{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14db825744343ba961f6fb229678e02c41d6c24)
基本表現
基本表現、或いは定義表現では、n 次正方行列で表現される。
![{\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}(if_{abc}+d_{abc})T_{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c41f59755be91e3cb0597afc00112af8597be5)
ここで、 f は構造定数で、全ての添え字に関して反対称であり、d は全ての添え字に関して対称である。
従って、
![{\displaystyle \{T_{a},T_{b}\}=T_{a}T_{b}+T_{b}T_{a}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}d_{abc}T_{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e75cc28dbc6ee8c0eb30155f7c780b54d6eded0d)
![{\displaystyle [T_{a},T_{b}]=T_{a}T_{b}-T_{b}T_{a}=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}f_{abc}T_{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ea0f75c19d3b1a95713a35498f3270a5ffd633)
規格化条件として
![{\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8734cc66d89d6707c1169f09e3b6b5b546a7fdf4)
をとる。
随伴表現
随伴表現では、n2−1 次正方行列で表現され、その成分は、
![{\displaystyle (T_{a})_{ij}=-if_{aij}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79892480ae061c22fe63b7faafa8a188fc4aeb9)
で与えられる。
例
SU(2)
SU(2) の元の一般形は
![{\displaystyle U={\begin{bmatrix}\alpha &-{\bar {\beta }}\\\beta &{\bar {\alpha }}\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbfec6f576ff1bb6d9f0b1b835373a2a41914e38)
となる。ここで、α, β ∈ C は |α|2 + |β|2 = 1 を満たす。
SU(3)
の生成子 T の基本表現は
![{\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566786f40d6886ba3df99a1699e088f612c708b9)
ここで、
はゲルマン行列である。
![{\displaystyle \lambda _{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{2}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db341db5d747e8ea5141ebe596ca20f7caa6c7ea)
![{\displaystyle \lambda _{4}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{5}={\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{6}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a9b9f2d613b673c637c37f3b28d90a6fa8b2fd)
![{\displaystyle \lambda _{7}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb4032b8c773c0fde0fae4a86fd210cd95b70d2)
交換関係は
![{\displaystyle [T_{a},T_{b}]=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f18fc0db2be4c5a2ff2de5d7ad8a3c70ec53eb37)
となり、構造定数 f は
![{\displaystyle f_{123}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32527057091b3e3fa9662efc572ebd790dbbeb57)
![{\displaystyle f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26fb43dc35cb48b9ad181edd3f9a08bffd0e60e)
![{\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a39253022a1333ca194b7578a02aac0be633272)
となる。d は
![{\displaystyle d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab618952eeabe1f6dad79969046c158f19776e1e)
![{\displaystyle d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4ae8b3155bd49fe63a71b0d6149a657b535435)
![{\displaystyle d_{146}=d_{157}=-d_{247}=d_{256}=d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}={\frac {1}{2}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c16ee89dd45cadc94f534e4a257df9957ae66e)
となる。
他の群との関係
素粒子物理学では、対称性の破れに関連して部分群が重要になる。
![{\displaystyle \mathrm {SU} (p+q)\supset \mathrm {SU} (p)\times \mathrm {SU} (q)\times \mathrm {U} (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7219fca5ef823567a4db95b02670108866d2b96)
![{\displaystyle \mathrm {SU} (n)\supset \mathrm {O} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43642933c51e9f423388536b8bd3fde2d800d8da)
![{\displaystyle \mathrm {SU} (2n)\supset \mathrm {USp} (2n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa33fcb5bf1940f2eb70d38578a6501601dc960)
![{\displaystyle \mathrm {SO} (2n)\supset \mathrm {SU} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8352619aad4a4b538fa677b69c7328ad90ab6ce0)
![{\displaystyle \mathrm {USp} (2n)\supset \mathrm {SU} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e6141f61363518d66387d7bcc7b40dd6bc8dc5)
![{\displaystyle \mathrm {E} _{6}\supset \mathrm {SU} (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a70dda6b91cdfd6cf88387bff16abb4f95afc7)
![{\displaystyle \mathrm {E} _{7}\supset \mathrm {SU} (8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f4ebe75c82a09f18fcc31f43eb5d1750339803)
![{\displaystyle \mathrm {G} _{2}\supset \mathrm {SU} (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485b9350c2a2ac9abc41c4f97842a5a6c47ffefc)
O(n): 直交群、SO(n): 特殊直交群、USp(2n): シンプレクティック群、E6, E7, G2: 例外型リー群
また、スピン群と以下の同型がある
![{\displaystyle \mathrm {Spin} (6)=\mathrm {SU} (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa8589a3c4ccdde34aef826457532783e3ec767)
![{\displaystyle \mathrm {Spin} (4)=\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a76fb682bb30551100f05ce41d018054b99066f)
![{\displaystyle \mathrm {Spin} (3)=\mathrm {SU} (2)=\mathrm {USp} (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203d942ea21366d3e83b1ba9030d915ece8c4b5b)
関連項目
外部リンク