區間

區間（英語：interval）在數學上是指某個範圍的數的集合，或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合，一般以集合形式表示。

簡說

在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間 $(10,20)$ 表示所有在 $10$ 和 $20$ 之間的實數，但不包括 $10$ 或 $20$ 。另一方面，閉區間 $[10,20]$ 表示所有在 $10$ 和 $20$ 之間的實數，以及 $10$ 和 $20$ 。^[1]

定义

实区间

在赋予通常序的实数集 $\mathbb {R}$ 里，以 $a,b\in \mathbb {R}$ 为端点的开区间和闭区间分别是：

(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}

[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}

类似地，以 $a,b$ 为端点的两个半开区间定义为：

(a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}

[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x<b\}

在一些上下文中，两个端点要求满足 $a<b$ 。这排除了 $a=b$ 从而区间或是单元素集合或是空集的情形，也排除了 $a>b$ 从而区间为空集的情形。

只有左端点 $a$ 的开区间和半开区间分别如下。

(a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},

[a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},

只有右端点 $b$ 的开区间和半开区间分别如下。

(-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},

(-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},

整个实数线等于没有端点的区间：

(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}

偏序集或预序集中的区间

区间的概念在任何偏序集或者更一般地，在任何预序集中有定义。对于预序集 $(X,\lesssim )$ 和两个元素 $a,b\in X,$ ，我们可以类似定义^[2]^{:11, Definition 11}

(a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}

[a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}

(a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}

[a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}

(a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}

[a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}

(-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}

(-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}

(-\infty ,\infty )=X

其中 $x<y$ 意思是 $x\lesssim y\not \lesssim x$ 。其实，只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集

{\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}

-\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)

上具有两个端点的区间，使得它是 $X$ 的子集。当 $X=\mathbb {R}$ 时，可以取 ${\bar {\mathbb {R} }}$ 为扩展实数线。

序凸集和序凸分支

预序集 $(X,\lesssim )$ 的子集 $A\subseteq X$ 是序凸集，如果对于任意 $x,y\in A$ 以及任意 $x\lesssim z\lesssim y$ 有 $z\in A$ 。与实区间的情形不同，预序集的序凸集不一定是区间。例如，在有理数的全序集 $(\mathbb {Q} ,\leq )$ 中，

\mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}

是序凸集，但它不是 $\mathbb {Q}$ 的区间，这是因为2的平方根在 $\mathbb {Q}$ 中是不存在的。

设 $(X,\lesssim )$ 是一个预序集，且 $Y\subseteq X$ 。包含在 $Y$ 中的 $X$ 的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做 $Y$ 的序凸分支。^[3]^{:Definition 5.1}由佐恩引理，包含在 $Y$ 中的 $X$ 的任意序凸集包含于 $Y$ 的一个序凸分支，然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中，这样的序凸分支确实唯一。也就是说，全序集的子集的序凸分支构成分划。