Distribuzione normale multivariata

Notazione e parametrizzazione

La distribuzione normale multivariata di un vettore aleatorio k-dimensionale ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }}$ può essere scritta secondo la notazione:

${\displaystyle \mathbf {X} \ \sim \ {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }}),}$

o, per rendere esplicito il fatto che ${\displaystyle \mathbf {X} }$ sia k-dimensionale,

${\displaystyle \mathbf {X} \ \sim \ {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }}),}$

con un vettore della media di dimensione k

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]=(\operatorname {E} [X_{1}],\operatorname {E} [X_{2}],\ldots ,\operatorname {E} [X_{k}])^{\textbf {T}},}$

e matrice di covarianza di dimensione ${\displaystyle k\times k}$

${\displaystyle \Sigma _{i,j}:=\operatorname {E} [(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})]=\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]}$

per cui ${\displaystyle 1\leq i,j\leq k.}$ La matrice inversa della matrice di covarianza è chiamata matrice di precisione, e si indica come ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}$ .

Vettore aleatorio normale standard

Un vettore aleatorio a valori reali ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }}$ è detto vettore aleatorio normale standard se tutte le sue componenti ${\displaystyle X_{n}}$ sono indipendenti e ognuna è una variabile aleatoria normale di valore medio nullo e varianza unitaria, cioè se ${\displaystyle X_{n}\sim \ {\mathcal {N}}(0,1)}$ per tutti i valori di ${\displaystyle n}$ .^[1]p. 454

Vettore aleatorio normale centrato

Un vettore aleatorio a valori reali ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }}$ è chiamato vettore aleatorio normale centrato se esiste una matrice deterministica ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ di dimensione ${\displaystyle k\times \ell }$ tale per cui ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} }$ ha la stessa distribuzione di ${\displaystyle \mathbf {X} }$ dove ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ è un vettore aleatorio normale standard con ${\displaystyle \ell }$ componenti.^[1]p. 454

Vettore aleatorio normale

Un vettore aleatorio a valori reali ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }}$ è detto vettore aleatorio normale se esistono un vettore aleatorio ${\displaystyle \ell }$ -dimensionale ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ , che è un vettore aleatorio normale standard, un vettore ${\displaystyle k}$ -dimensionale ${\displaystyle \mathbf {\mu } }$ , e una matrice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ di dimensione ${\displaystyle k\times \ell }$ , tale per cui ${\displaystyle \mathbf {X} ={\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +\mathbf {\mu } }$ .^[1]p. 455^[2]p. 454

Formalmente:

${\displaystyle \mathbf {X} \ \sim \ {\mathcal {N}}(\mathbf {\mu } ,{\boldsymbol {\Sigma }})\quad \iff \quad {\text{esiste }}\mathbf {\mu } \in \mathbb {R} ^{k},{\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{k\times \ell }{\text{ tale per cui }}\mathbf {X} ={\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +\mathbf {\mu } {\text{ per }}Z_{n}\sim \ {\mathcal {N}}(0,1),{\text{i.i.d.}}}$

Da qui la matrice delle covarianze è ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}$ .

Nel caso degenere in cui la matrice delle covarianze fosse singolare, la distribuzione corrispondente non ha densità; vedi la sezione seguente per dettagli. Questa situazione capita frequentemente in statistica; per esempio, nella distribuzione dei vettori dei residui nel metodo di regressione dei minimi quadrati ordinario. Le ${\displaystyle X_{i}}$ in genere non sono indipendenti; possono essere visti come il risultato dell'applicazione della matrice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ all'insieme delle variabili gaussiane indipendenti ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ .

Definizioni equivalenti

Le seguenti definizioni sono equivalenti alla definizione data in precedenza. Un vettore aleatorio ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{T}}$ ha una distribuzione normale multivariata se soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti.

• Ogni combinazione lineare ${\displaystyle Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{k}X_{k}}$ delle proprie componenti è normalmente distribuita. Cioè, per un qualunque vettore costante ${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{k}}$ , il valore aleatorio ${\displaystyle Y=\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }$ ha una distribuzione normale univariata, dove una distribuzione normale univariata con varianza nulla è un punto materiale sulla sua media.
• Esistono un vettore k-dimensionale ${\displaystyle \mathbf {\mu } }$ e una matrice di dimensione ${\displaystyle k\times k}$ simmetrica e positiva semidefinita ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ , tali per cui la funzione caratteristica di ${\displaystyle \mathbf {X} }$ è

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {u} )=\exp {\Big (}i\mathbf {u} ^{T}{\boldsymbol {\mu }}-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {u} ^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {u} {\Big )}.}$

La distribuzione normale sferica può essere caratterizzata come l'unica distribuzione in cui le componenti siano indipendenti in un qualunque sistema di coordinate cartesiano.^[3][4]

• Variabile casuale multivariata
• Distribuzione normale

• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione normale multivariata, su MathWorld, Wolfram Research.

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