Funzione di utilità CRRA

La forma generale di una funzione di utilità istantanea CRRA (Constant Relative Risk Adversion), cioè con coefficiente relativo di avversione al rischio costante, è:

${\displaystyle U(c_{t})={\frac {c_{t}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}\ \forall \gamma >0,\gamma \neq 1}$

${\displaystyle U(c_{t})=\log c_{t}\ \ \ {\textrm {se}}\ \gamma =1}$

dove ${\displaystyle c_{t}}$ indica il livello di consumo al tempo ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle U}$ indica il livello di utilità istantanea e ${\displaystyle \gamma }$ è un parametro. La funzione di utilità CRRA rientra nella più generale classe di funzioni di utilità HARA.^[1]

In questa funzione l'utilità marginale del consumo al tempo ${\displaystyle t}$ è uguale a:

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial c_{t}}}=c_{t}^{-\gamma }}$

Il saggio marginale di sostituzione intertemporale (SMSI), cioè il saggio marginale di sostituzione del consumo al tempo ${\displaystyle t}$ con il consumo al tempo ${\displaystyle t+n}$, essendo uguale al rapporto tra le utilità marginali dei consumi, è dato dunque da:

${\displaystyle SMSI_{t,t+n}=\left({\frac {c_{t+n}}{c_{t}}}\right)^{\gamma }}$

da cui segue:

${\displaystyle \sigma ={\frac {d\log \left({\frac {c_{t+n}}{c_{t}}}\right)}{d\log SMSI_{t,t+n}}}={\frac {1}{\gamma }}}$

dove ${\displaystyle \sigma }$ è l'elasticità di sostituzione intertemporale, cioè l'elasticità di sostituzione dei livelli di consumo tra ${\displaystyle t+n}$ e ${\displaystyle t}$.

Quando la funzione di utilità istantanea è utilizzata per descrivere attitudini al rischio, ${\displaystyle \gamma }$; può avere un'interpretazione alternativa. Infatti, essendo il coefficiente di avversione relativa al rischio dato dal rapporto (cambiato di segno) tra la derivata seconda e la derivata prima della funzione moltiplicato per la variabile indipendente, in questo caso avremo:

${\displaystyle R_{R}(c)=-c_{t}{\frac {U''(c_{t})}{U'(c_{t})}}=-c_{t}{\frac {-\gamma c_{t}^{-(\gamma +1)}}{c_{t}^{-\gamma }}}=\gamma }$